Retrazione

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In matematica, più precisamente in topologia, una retrazione è una particolare funzione continua che "proietta" uno spazio topologico su un sottoinsieme .

Quando la retrazione è realizzata da una deformazione continua, il sottoinsieme è un retratto di deformazione di e conserva molte delle sue proprietà topologiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Retrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico e un sottoinsieme di . Una funzione continua

è un retrazione di su se la sua restrizione ai punti di è la funzione identità, ovvero se

Un sottoinsieme è un retratto di se esiste una retrazione di su .

Retratto di deformazione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione continua

è una retrazione di deformazione di su se sono soddisfatte le relazioni seguenti

per ogni in e ogni in . In altre parole, una retrazione di deformazione è un'omotopia fra una retrazione e la funzione identità su .

Un sottoinsieme è un retratto di deformazione di se esiste una retrazione di deformazione di su .

Infine, una retrazione di deformazione si dice forte se

per ogni in . In altre parole, la deformazione non muove i punti in . In questo caso è un retratto di deformazione forte.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Retrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio qualsiasi e un punto. La funzione costante

è una retrazione. Più in generale, è possibile scegliere un punto in ogni componente connessa di e mandare tutta la componente connessa nello stesso punto: il risultato è sempre una retrazione. D'altra parte, non è possibile costruire una retrazione di uno spazio connesso su due suoi punti, poiché l'immagine di un connesso tramite una funzione continua è sempre connessa.

Deformazioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia un sottoinsieme convesso di contenente l'origine, ad esempio la palla unitaria o tutto . La funzione

è una retrazione di deformazione di sull'origine .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Retrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Una retrazione

manda ogni componente connessa di in un sottoinsieme connesso di .

Se è connesso per archi, anche lo è e l'omomorfismo indotto

fra i loro gruppi fondamentali è suriettivo. Inoltre l'inclusione

induce una funzione iniettiva

Entrambe le proprietà derivano dal fatto che la composizione

è la funzione identità e quindi induce l'omomorfismo identità

Poiché questo è composizione degli omomorfismi e , il primo deve essere iniettivo ed il secondo suriettivo. Gli stessi risultati valgono per i gruppi di omotopia superiori.

Deformazioni[modifica | modifica wikitesto]

Se la retrazione è indotta da una deformazione, è omotopa all'identità ed induce quindi una equivalenza omotopica tra e . In particolare, le mappe e sono entrambe isomorfismi.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Teorema del punto fisso di Brower[modifica | modifica wikitesto]

Non esistono retrazioni

del disco unitario sulla sua sfera di bordo. Infatti l'omomorfismo indotto

sull'-esimo gruppo di omotopia non può essere suriettivo, visto che il primo gruppo è banale ed il secondo no:

Da questo fatto discende facilmente il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua

dal disco unitario in sé ha un punto fisso.

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