Insieme limite

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In matematica, l'insieme limite di una successione \{ x_n \} consiste in tutti i suoi punti di accumulazione:

\omega(x_n) = \bigcap_{n=0}^\infty \overline{\{x_k : k>n\}} \qquad n \in \N

dove \overline{\{x_k : k>n\}} è la chiusura di \{x_k : k>n\}.

Nello studio dei sistemi dinamici, un insieme limite di un'orbita \phi(t,x_0) di un sistema dinamico per un punto iniziale x_0 è l'insieme dei punti p tali per cui esiste una successione di istanti temporali t_k \to \pm \infty tale che \phi(t_k,x_0) \to p per k \to \infty.

Gli insiemi limite forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico; esempi particolarmente studiati sono gli insiemi limite in corrispondenza di punti periodici (punti fissi) della traiettoria percorsa dal sistema, ad esempio orbite periodiche (cicli limite) e diversi altri attrattori.

Sistemi dinamici discreti[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio metrico e sia f:X\rightarrow X una funzione continua la cui iterazione definisce un sistema dinamico discreto. L'insieme \omega-limite di un punto x\in X, indicato con \omega(x,f), è l'insieme di tutti i punti di accumulazione della successione \{f^k(x): k>n\} formata dalle orbite passanti per x:

\omega(x,f) = \bigcap_{n\in \mathbb{N}} \overline{\{f^k(x): k>n\}}

In altri termini, y\in \omega(x,f) se e solo se c'è una successione strettamente crescente di numeri naturali \{n_k\}_{k\in \mathbb{N}} tale che f^{n_k}(x)\rightarrow y con k\rightarrow\infty.

Se f è un omeomorfismo si può definire in modo simile l'insieme \alpha-limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè:

\alpha(x,f)=\omega(x,f^{-1})

Entrambi gli insiemi sono f-invarianti e se X è uno spazio compatto sono compatti e non vuoti.

Sistemi dinamici continui[modifica | modifica wikitesto]

Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:

\frac{dx}{dt} = f(x) \qquad x \in \R^n

sia x(t)=\phi(t,x_0) la soluzione (o flusso) del sistema per il punto iniziale x(0)=x_0, con \gamma(x_0) la corrispondente orbita (l'immagine del flusso). Un punto x' è detto punto \omega-limite della soluzione \phi(t,x_0) (punto \omega-limite dell'orbita \gamma(x_0)) se esiste una successione t_1,\dots ,t_k,\dots di istanti temporali tali che:[1]

\phi(t_k,x_0) \to x' \qquad k \to \infty
t_k \to +\infty

L'insieme \omega-limite di \phi(t,x_0) è l'insieme di tutti i punti ω-limite di \phi(t,x_0) (di \gamma(x_0)).

L'insieme \alpha-limite si definisce analogamente come l'insieme di tutti i punti \alpha-limite della traiettoria \phi(t,x_0), cioè i punti tali che \phi(t_k,x_0) \to x' per t_k \to -\infty e k \to \infty.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Artem S. Novozhilov - Limit sets, Lyapunov functions.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]