Insieme limite

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In matematica, l'insieme limite di una successione consiste in tutti i suoi punti di accumulazione:

dove è la chiusura di .

Nello studio dei sistemi dinamici, un insieme limite di un'orbita di un sistema dinamico per un punto iniziale è l'insieme dei punti tali per cui esiste una successione di istanti temporali tale che per .

Gli insiemi limite forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico; esempi particolarmente studiati sono gli insiemi limite in corrispondenza di punti periodici (punti fissi) della traiettoria percorsa dal sistema, ad esempio orbite periodiche (cicli limite) e diversi altri attrattori.

Sistemi dinamici discreti[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio metrico e sia una funzione continua la cui iterazione definisce un sistema dinamico discreto. L'insieme -limite di un punto , indicato con , è l'insieme di tutti i punti di accumulazione della successione formata dalle orbite passanti per :

In altri termini, se e solo se c'è una successione strettamente crescente di numeri naturali tale che con .

Se è un omeomorfismo si può definire in modo simile l'insieme -limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè:

Entrambi gli insiemi sono -invarianti e se è uno spazio compatto sono compatti e non vuoti.

Sistemi dinamici continui[modifica | modifica wikitesto]

Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:

sia la soluzione (o flusso) del sistema per il punto iniziale , con la corrispondente orbita (l'immagine del flusso). Un punto è detto punto -limite della soluzione (punto -limite dell'orbita ) se esiste una successione di istanti temporali tali che:[1]

L'insieme -limite di è l'insieme di tutti i punti ω-limite di (di ).

L'insieme -limite si definisce analogamente come l'insieme di tutti i punti -limite della traiettoria , cioè i punti tali che per e .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Artem S. Novozhilov - Limit sets, Lyapunov functions.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]