Ciclo limite

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Nello studio dei sistemi dinamici, un ciclo limite è un'orbita periodica isolata, ovvero tale per cui non esistono altre orbite periodiche nelle vicinanze e tutte le traiettorie compiute dal sistema che sono sufficientemente vicine convergono ad essa per t \to \pm \infty.

Un punto periodico x_0 è un punto dello spazio delle fasi tale per cui la traiettoria x(t,x_0) del sistema dinamico ritorna al punto di partenza dopo un tempo T, ovvero è una funzione periodica con periodo T:

x(t+T,x_0)=x(t,x_0)
x(t+t',x_0) \ne x(t,x_0) \qquad 0 < t' < T

Un'orbita periodica (anche detta orbita chiusa) è data dall'insieme di tali punti periodici:

\phi(t,x_0) = \{ x(t,x_0) : 0 \le t \le T \}

Un ciclo limite è un'orbita periodica isolata, tale per cui esiste almeno una traiettoria che converge ad essa per t \to \pm \infty. In due dimensioni, si dimostra che se \phi(x_0) è un'orbita periodica non costante di un sistema dinamico:

x_1'=f_1(x_1,x_2)
x_2'=f_2(x_1,x_2)

e non vi sono altre orbite periodiche nelle vicinanze, allora ogni traiettoria che passa o inizia per un punto sufficientemente vicino a x_0 converge a \phi(x_0) per t \to +\infty o t \to -\infty. In tal caso \phi(x_0) viene detta ciclo limite.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Steven H. Strogatz, "Nonlinear Dynamics and Chaos", Addison Wesley publishing company, 1994.
  • (EN) M. Vidyasagar, "Nonlinear Systems Analysis, second edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
  • (EN) Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
  • (EN) Witold Hurewicz, "Lectures on Ordinary Differential Equations", Dover, 2002.
  • (EN) Solomon Lefschetz, "Differential Equations: Geometric Theory", Dover, 2005.
  • (EN) Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006.
  • (EN) Arthur Mattuck, Limit Cycles: Existence and Non-existence Criteria, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]