Relazione di finezza

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In matematica, lo studio delle topologie su un insieme consiste nel confrontare le diverse topologie di cui può essere dotato un dato insieme X. Tali topologie formano un insieme parzialmente ordinato, e questa relazione d'ordine, detta relazione di finezza, può essere usata per confrontare due topologie diverse.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio topologico consiste in un insieme X e una topologia T. La topologia T è una collezione di sottoinsiemi di X, detti aperti. Se due topologie T1 e T2 sono tali che T1 è contenuta in T2 (in altre parole, gli aperti di T1 sono anche aperti di T2), allora si dice che T2 è più fine di T1.[1]

In questo modo, con l'inclusione l'insieme delle topologie diventa un insieme parzialmente ordinato.

Reticolo di topologie[modifica | modifica sorgente]

L'insieme delle topologie su X ha un minimo assoluto, dato dalla topologia banale (che è meno fine di qualsiasi altra topologia), ed un massimo assoluto, dato dalla topologia discreta (che è più fine di qualsiasi altra topologia).

L'insieme delle topologie è un reticolo: ogni collezione di topologie ha un minimo comune (le loro intersezioni) ed un massimo comune (generato dalle loro unioni).

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio di funzioni ammette spesso alcune diverse topologie. Ad esempio, lo spazio delle funzioni continue definite sull′intervallo [0, 1] può essere dotato della topologia della convergenza puntuale o della convergenza uniforme: la seconda è più fine della prima.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ M. Manetti, op. cit., p. 39

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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