Teorema della palla pelosa

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Una visualizzazione grafica del teorema della palla pelosa: non è possibile pettinare la palla senza lasciare punti singolari.
Una superficie toroidale è invece facilmente pettinabile.

Il teorema della palla pelosa è un concetto della topologia algebrica secondo il quale non esiste un campo vettoriale continuo non nullo tangente a una sfera.

Espresso in termini euristici esso afferma, sostanzialmente, che «non è possibile pettinare completamente una palla pelosa» oppure «non è possibile pettinare i capelli di una palla da biliardo», i capelli pettinati rappresentando il campo vettoriale continuo: non è possibile, quindi, eseguire su una sfera una pettinatura che non abbia almeno una chierica o una riga.

La sua enunciazione formale è la seguente: data una sfera S e una funzione continua f: S \rightarrow \mathbb{R}^3 che associa a ogni punto P della sfera un vettore tridimensionale tangente alla sfera stessa in P, esiste almeno un punto della sfera Q \in S tale che f(Q) = 0.

Il teorema, dimostrato nel 1912 da Luitzen Brouwer, può essere visto come un caso particolare del Teorema di Poincaré-Hopf, che asserisce che la somma degli zeri di determinati campi vettoriali su una superficie è pari alla caratteristica di Eulero di tale superficie: poiché la caratteristica di Eulero della sfera è 2, il campo deve possedere almeno uno zero; una superficie a caratteristica zero, come il toro, è invece «pettinabile». In questo contesto più ampio il teorema della palla pelosa costituisce un esempio di legame tra le proprietà topologiche di una superficie (la caratteristica di Eulero) e quelle analitiche (i campi vettoriali su di essa). Esistono tuttavia numerose altre dimostrazioni, ad esempio a partire dal lemma di Sperner[1][2].

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema della palla pelosa ha applicazioni non solo in ambito matematico, ma anche in alcuni campi della fisica e della tecnologia.

Punti fissi e antipodali[modifica | modifica wikitesto]

Una conseguenza del teorema della palla pelosa è che qualunque funzione continua che mappa la sfera in sé stessa ha necessariamente un punto che viene mappato su sé stesso (punto fisso) o sul proprio punto antipodale:

\forall f: S \rightarrow S \quad \mathrm{continua} ,\, \exists P \in S :\, f(P) = \pm P.

La dimostrazione di questa proprietà si ottiene associando alla funzione continua una funzione vettoriale tangente nel seguente modo: preso un punto P sulla sfera, si costruisce la proiezione stereografica di f(P) usando P come polo della proiezione, e si prende come vettore tangente \mathbf{v}(P) il vettore posizione della proiezione rispetto a P.

I vettori tangenti così costruiti definiscono una funzione continua che rispetta le ipotesi del teorema: quindi esiste un punto P della sfera tale che \mathbf{v}(P) = 0; questo implica che f(P) coincide con P, oppure si trova al suo antipodo.

Meteorologia[modifica | modifica wikitesto]

La circolazione atmosferica di un pianeta può essere rappresentata con un modello che assegna a ogni punto della superficie un vettore tangente alla superficie stessa e avente la direzione del vento; questa approssimazione equivale a trascurare la componente verticale del vento, condizione accettabile dato che il diametro del pianeta è significativamente maggiore dello spessore dell'atmosfera.

Tranne il caso banale in cui il vento è fermo su tutto il pianeta, il campo vettoriale così definito rispetta le ipotesi del teorema della palla pelosa; segue che esiste almeno un punto della superficie in cui il vento ha velocità nulla: questi punti corrispondono all'occhio di un ciclone o di un anticiclone. Il teorema garantisce quindi che sulla superficie di un pianeta dotato di atmosfera esiste sempre almeno un ciclone.

Computer grafica[modifica | modifica wikitesto]

Un problema comune in computer grafica è la generazione di un vettore non nullo ortogonale ad un altro vettore dato. Se consideriamo il vettore di partenza come posizionato sul raggio di una sfera, i vettori ortogonali sono tangenti alla sfera stessa; dal teorema della palla pelosa segue che non esiste una funzione continua in grado di risolvere il problema per qualunque vettore di partenza, ossia per tutti i punti della sfera.

Estensioni del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema può essere esteso a sfere in dimensioni superiori: si può dimostrare che esso è valido per tutte le 2n-sfere, in dimensione pari. Questa proprietà è facilmente derivabile tramite la caratteristica di Eulero: quest'ultima infatti si può ottenere come somma alternata dei numeri di Betti della m-sfera, che valgono 0 tranne che per le dimensioni 0 ed m, per cui la caratteristica di Eulero vale 2 se m è pari, perché i due termini non nulli hanno lo stesso segno, 0 se m è dispari.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Tyler Jarvis
  2. ^ John Milnor presenta una dimostrazione basata unicamente su considerazioni analitiche; vedi anche [1] per una presentazione e una discussione della dimostrazione.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) The Hairy Ball Theorem, BBC, 22-03-2006. URL consultato il 06-09-2008.
  • Tyler Jarvis, James Tanton, The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma (PDF), in American Mathematical Monthly, nº 111, 2004, pp. 599-603. URL consultato il 06-09-2008.
  • John Milnor, Analytic proofs of the “hairy ball theorem” and the Brouwer fixed point theorem, in American Mathematical Monthly, nº 85, 1978, pp. 521-524.

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