Piano di Moore

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In matematica e più in particolare in topologia, il piano di Moore (Moore plane in inglese), anche detto piano di Niemytzki (o piano di Nemytskii, topologia di Nemytskii dei dischi tangenti), è uno spazio topologico. Questo spazio è completamente regolare T3.5 cioè uno spazio di Tychonoff che però non è uno spazio normale T4. Per questo motivo è spesso utilizzato come esempio della affermazione "T3.5 non implica T4". Il piano di Moore deve il suo nome al matematico statunitense Robert Lee Moore e nella sua dicitura alternativa a Viktor Vladimirovich Nemytskii.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Rappresentazione grafica del piano di Moore a partire dagli intorni aperti dei punti.

Se è il semipiano reale superiore chiuso , allora si può definire uno spazio topologico su considerando una base così definita:

  • Gli elementi della base locale sui punti del piano reale con sono i dischi aperti nel piano con raggio così piccolo da essere contenuti in . In questo modo il sottospazio ereditato da è lo stesso sottospazio che viene ereditato dalla topologia euclidea sul piano reale.
  • Gli elementi della base locale sui punti del piano reale tali che , cioè giacenti sull'asse delle ascisse, sono gli insiemi aperti . Con disco aperto contenuto nel piano superiore e con raggio tale che il disco sia tangente all'asse nel punto

Quindi si può identificare la base locale per ogni punto di :

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Prova della non Normalità[modifica | modifica wikitesto]

Come nel caso del Piano di Sorgenfrey anche per il Piano di Moore si può dimostrare che si tratta di uno spazio topologico non normale cioè che non rispetta l'assioma di separazione T4. Ricordiamo che uno spazio topologico separabile non può essere normale se contiene almeno un sottospazio proprio: chiuso, non numerabile e discreto. Portiamo allora un esempio di sottospazio siffatto come dimostrazione. Considerando l'asse delle ascisse di , cioè il bordo del semipiano, questo si tratta di un sottospazio proprio. Ovviamente questo sottospazio non è numerabile avendo la stessa cardinalità di ; é discreto per come sono definiti gli intorni della base per i punti giacenti sulla retta; è chiuso in quanto il suo complementare è aperto infatti è possibile ricoprire il semipiano senza il bordo (escludendo cioè la retta che stiamo considerando) con una unione infinita di elementi della base.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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