Piano di Sorgenfrey

L'antidiagonale del piano di Sorgenfrey è un sottospazio discreto. Infatti i rettangoli aperti possono intersecare ogni suo punto preso singolarmente.

In topologia, il piano di Sorgenfrey è un controesempio spesso citato per confutare congetture apparentemente plausibili. Consiste nel prodotto della retta di Sorgenfrey (la retta reale $\mathbb {R}$ dotata della topologia del limite inferiore) con se stessa. La retta e il piano di Sorgenfrey prendono il nome dal matematico statunitense Robert Sorgenfrey.

Una base per il piano di Sorgenfrey, denotato d'ora in poi con $\mathbb {S}$, è costituita dall'insieme dei rettangoli che includono il lato sinistro, lo spigolo sinistro inferiore e il lato inferiore mentre non includono lo spigolo inferiore destro, il lato destro, lo spigolo superiore destro, il lato superiore e lo spigolo superiore sinistro. Gli aperti di questa topologia sono costituiti dalle unioni di tali rettangoli.

$\mathbb {S}$ è un esempio di spazio non di Lindelöf ma che è prodotto di spazi di Lindelöf. È anche un esempio di spazio non normale ma che è prodotto di spazi normali. Di questo spazio consideriamo la diagonale secondaria $\Delta =\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}$, questo è un sottoinsieme discreto che come sottospazio topologico risulta non essere separabile nonostante il piano di Sorgenfrey lo sia. Ciò dimostra che la separabilità non è ereditata dalla topologia del sottoinsieme. Da notare che $K=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {Q} \}$ e $\Delta \setminus K$ sono insiemi chiusi che non possono essere separati con insiemi aperti; ciò mostra che $\mathbb {S}$ non è uno spazio normale.

Note

• (EN) John L. Kelley, General Topology, Van Nostrand Reinhold van Nostrand, 1955. Reprinted as John L. Kelley, General Topology, Springer-Verlag, 1975, ISBN 0-387-90125-6.
• (EN) Robert Sorgenfrey, "On the topological product of paracompact spaces", Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947) 631–632.
• (EN) Lynn Arthur Steen e J. Arthur Jr. Seebach, Counterexamples in Topology, Dover Publications, ristampa del 1978, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1995 [1978]. MR 507446