Mappa esponenziale

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La mappa esponenziale associa ad ogni vettore dello spazio tangente l'unica geodetica passante per il punto e tangente a .

In geometria differenziale, la mappa esponenziale è una funzione che mappa lo spazio tangente in un punto di una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana sulla varietà stessa. La mappa esponenziale è utile a rappresentare un intorno di un punto tramite coordinate geodetiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un punto in una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana . La mappa esponenziale è una mappa

definita su un insieme aperto dello spazio tangente in contenente l'origine, nel modo seguente.

Per ogni vettore non nullo dello spazio tangente, esiste un'unica geodetica

tale che e . La geodetica è qui descritta nel suo dominio massimale: i numeri e sono positivi o . Se , si definisce .

Si estende infine la mappa esponenziale all'origine, ponendo . I vettori su cui è definita formano un aperto contenente l'origine.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Geodetiche[modifica | modifica wikitesto]

La mappa esponenziale mappa ogni retta passante per l'origine sulla geodetica avente come tangente quella retta. Se la geodetica può essere estesa fino ad avere lunghezza infinita in ambo i sensi, la mappa è definita su tutta la retta; altrimenti, la mappa è definita solo sul segmento aperto massimale su cui la geodetica può essere estesa.

Completezza[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Hopf-Rinow fornisce varie nozioni equivalenti di completezza per una varietà riemanniana. Tra queste, c'è la possibilità di prolungare indefinitivamente ogni geodetica. Segue quindi che se è completa la mappa esponenziale è definita su tutto lo spazio tangente

per ogni punto di .

Invertibilità locale[modifica | modifica wikitesto]

La mappa esponenziale è continua e differenziabile, con differenziale invertibile nell'origine. Per il teorema di invertibilità locale, esiste un intorno dell'origine in tale che

è un diffeomorfismo. La mappa esponenziale è cioè un diffeomorfismo locale nell'origine, ed è quindi utile a modellare la varietà localmente vicino a .

Raggio di iniettività[modifica | modifica wikitesto]

Benché lo sia in un intorno dell'origine, la mappa esponenziale non è però necessariamente globalmente iniettiva: il raggio di iniettività di una varietà riemanniana in è il massimo numero tale che la mappa

ristretta alla palla di raggio centrata in zero è iniettiva. La palla è

ove la norma di è data dal prodotto scalare definito dal tensore metrico.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Varietà non completa[modifica | modifica wikitesto]

Se

è lo spazio euclideo privato dell'origine, e è un qualsiasi punto di , la mappa esponenziale non è mai definita su tutto il piano tangente . Infatti non risulta definita sul vettore , poiché la geodetica uscente da in direzione è definita soltanto fino a che questa non incontra l'origine. L'aperto è quindi tutto lo spazio privato di una semiretta.

Coordinate geodetiche[modifica | modifica wikitesto]

Le coordinate geodetiche in un intorno di un punto sono definite tramite la mappa esponenziale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un punto di una varietà (pseudo-)riemanniana . Lo spazio tangente è dotato di un prodotto scalare definito positivo, dato dal tensore metrico. Lo spazio è quindi identificabile con lo spazio euclideo : per ottenere questa identificazione è sufficiente scegliere una base ortonormale.

Sia un intorno dell'origine nello spazio tangente su cui la mappa esponenziale è un diffeomorfismo. Questo aperto è identificato con un aperto di . Conseguentemente, l'immagine è identificata con questo aperto. L'identificazione fornisce un sistema di coordinate, detto geodetico o normale.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le coordinate geodetiche identificano un intorno aperto di con un intorno aperto dello spazio euclideo . Valgono le proprietà seguenti.

Geodetiche[modifica | modifica wikitesto]

Il punto è identificato con l'origine. Le geodetiche uscenti da sono identificate con le rette uscenti dall'origine.

Tensore metrico[modifica | modifica wikitesto]

Il tensore metrico in è rappresentato dalla matrice identità. Questo avviene però generalmente solo in : se avviene in tutto l'intorno, la metrica in questo intorno è piatta, cioè senza curvatura.

Più precisamente, il tensore metrico è approssimato dalla metrica Euclidea al primo ordine:

In particolare, si annullano le derivate prime del tensore metrico:

Simboli di Christoffel e derivata covariante[modifica | modifica wikitesto]

I simboli di Christoffel si annullano in :

La derivata covariante nel punto quindi coincide con la derivata parziale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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