Parallelismo in geometria iperbolica

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La nozione di parallelismo in geometria iperbolica differisce molto da quella presente nella geometria euclidea. Essenzialmente, esistono due tipi di parallelismo in geometria iperbolica: due rette (o oggetti più generali) in uno spazio iperbolico possono essere

  • asintoticamente paralleli se sono paralleli ma "si incontrano all'infinito".
  • ultraparalleli se sono paralleli e divergono all'infinito.

L'aspetto nuovo della geometria iperbolica, non presente nella euclidea, è proprio la possibilità di avere rette ultraparallele. Un'altra differenza sta nel fatto che il parallelismo in geometria iperbolica non è una relazione di equivalenza, perché non vale la proprietà transitiva.

Rette nel piano iperbolico[modifica | modifica wikitesto]

Due rette secanti

Due rette nel piano iperbolico possono essere essenzialmente di tre tipi.

Rette secanti[modifica | modifica wikitesto]

Due rette sono secanti se si intersecano in un punto. Due rette non secanti sono parallele. Esistono però due nozioni ben diverse di parallelismo.

Rette asintoticamente parallele[modifica | modifica wikitesto]

Due rette asintoticamente parallele

Due rette parallele sono asintoticamente parallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:

  • le due rette hanno un punto all'infinito in comune;
  • esistono coppie di punti sulle due rette arbitrariamente vicini (cioè per ogni esistono due punti e appartenenti alle due rette con distanza minore di );
  • non esiste nessuna retta perpendicolare a entrambe;
  • esiste un orociclo perpendicolare a entrambe.

Rette ultraparallele[modifica | modifica wikitesto]

Due rette ultraparallele

Due rette parallele sono ultraparallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:

  • le due rette non hanno punti all'infinito in comune;
  • la distanza fra punti è limitata inferiormente (cioè esiste tale che la distanza fra due punti e appartenenti alle due rette è sempre maggiore di );
  • esiste una retta perpendicolare a entrambe;
  • non esiste nessun orociclo perpendicolare a entrambe.

La retta perpendicolare ad entrambe è in realtà unica.

Angolo di parallelismo[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Angolo di parallelismo.
Le rette parallele a una data passanti per formano un angolo , detto angolo di parallelismo. Al variare dell'angolo si ottengono rette differenti.

Il quinto postulato iperbolico asserisce che, data una retta ed un punto disgiunto da , esistono almeno due rette parallele a passanti per . Dal postulato risulta però che tali rette sono infinite: questo segue dai fatti seguenti.

  1. Sia il punto di più vicino a . Il segmento è perpendicolare a (si veda la figura). Ogni retta passante per è adesso identificata dall'angolo che forma con il segmento . L'angolo è detto angolo di parallelismo di e .
  2. Se due rette e sono parallele a , queste formano angoli diversi e : ogni altra retta con un angolo compreso fra e risulta essere parallela a .

Le rette parallele a passanti per sono tutte e sole le rette con angolo di parallelismo appartenente ad un intervallo chiuso . Le rette con angolo di parallelismo e sono asintoticamente parallele a : in una direzione queste si avvicinano sempre più a , senza mai intersecarla. Tutte le rette con angolo di parallelismo compreso fra e sono invece ultraparallele rispetto a .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il parallelismo non è una relazione d'equivalenza[modifica | modifica wikitesto]

Il parallelismo in geometria iperbolica non è (a differenza di quanto accade nella geometria euclidea) una relazione d'equivalenza. In particolare, non è vero che se è parallelo a e è parallelo a allora è parallelo a . Per mostrare ciò basta prendere e due rette distinte passanti per un punto non contenuto in .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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