Poliedro stellato uniforme

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Esposizione di poliedri uniformi stellati al museo della scienza di Londra.
Il piccolo icosicosidodecaedro camuso è un poliedro stellato uniforme con figura al vertice 35.5/2.

In geometria solida, un poliedro stellato uniforme è un poliedro uniforme auto-intersecante; per sottolineare quest'ultima proprietà, un poliedro di questo tipo è talvolta chiamato in letteratura anche "poliedro non-convesso". Ogni poliedro stellato uniforme può avere sia facce, sia figura al vertice a forma di poligono stellato.

L'insieme completo di 57 poliedri stellati uniformi non prismatici comprende 4 poliedri regolari, chiamati anche poliedri di Keplero-Poinsot, 5 poliedri quasiregolari e 48 poliedri semiregolari. A questi si sommano poi due serie infinite di prismi stellati uniformi e antiprismi stellati uniformi.

Proprio come i poligoni stellati non degeneri, aventi cioè una densità poligonale maggiore di 1, corrispondono a più poligoni circolari parzialmente sovrapposti, i poliedri stellati che sono privi di facce passanti per il loro centro hanno densità poliedrica maggiore di 1 e corrispondono a poliedri sferici parzialmente sovrapposti. Dei 57 poliedri stellati uniformi non prismatici esistenti, 47 sono di questo tipo, gli altri 10 invece sono costituiti dai 9 aventi facce passanti per il loro centro, ossia i cosiddetti emipoliedri, e dal grande dirombicosidodecaedro, l'unico poliedro uniforme che non può essere realizzato tramite la costruzione di Wythoff, e non hanno densità ben definita.[1][2]

Tutti i poliedri uniformi elencati nelle tabelle sottostanti si possono generare attraverso la costruzione di Wythoff, e quindi partendo da triangoli di Schwarz, e sono catalogati in base al loro gruppo di simmetria e alla disposizione dei loro vertici. I poliedri regolari sono indicati con il proprio simbolo di Schläfli, mentre quelli non regolari sono elencati con la propria incidenza dei vertici.

Ad alcuni poliedri è stata aggiunta anche la dicitura non uniforme, ad indicare che l'inviluppo convesso della disposizione dei vertici ha la stessa topologia di uno di questi ma non ha facce regolari.

Simmetria diedrica[modifica | modifica wikitesto]

Per questo paragrafo si rimanda alla voce relativa ai poliedri prismatici uniformi.

Simmetria tetraedrica[modifica | modifica wikitesto]

Triangoli (3 3 2) su una sfera.

Esiste un poliedro non-convesso, il tetraemiesaedro, avente simmetria tetraedrica (con dominio fondamentale il triangolo di Möbius (3 3 2)).

Ci sono due triangoli di Schwarz che generano poliedri stellati uniformi unici: il triangolo rettangolo (32 3 2) e il triangolo (32 3 3). Quest'ultimo genera l'ottaemiottaedro, elencato di seguito data la sua simmetria ottaedrica.

Disposizione dei vertici
(Inviluppo convesso)
Poliedri stellati
Tetrahedron.png
Tetraedro
 
Rectified tetrahedron.png
Tetraedro rettificato
Ottaedro
Tetrahemihexahedron.png
4.32.4.3
32 3 | 2
Truncated tetrahedron.png
Tetraedro troncato
 
Cantellated tetrahedron.png
Tetraedro cantellato
(Cubottaedro)
 
Uniform polyhedron-33-t012.png
Tetraedro omnitroncato
(Ottaedro troncato)
 
Uniform polyhedron-33-s012.png
Tetraedro camuso
(Icosaedro)
 

Simmetria ottaedrica[modifica | modifica wikitesto]

Triangoli (4 3 2) su una sfera.

Esistono 8 poliedri convessi e 10 non convessi con simmetria ottaedrica (con dominio fondamentale il triangolo di Möbius (4 3 2)).

Ci sono due triangoli di Schwarz che generano poliedri stellati uniformi: i due triangoli rettangoli (32 4 2) e (43 3 2) e i due triangoli (43 4 3) e (32 4 4).

Disposizione dei vertici
(Inviluppo convesso)
Poliedri stellati
Hexahedron.png
Cubo
 
Octahedron.png
Ottaedro
 
Cuboctahedron.png
Cubottaedro
Cubohemioctahedron.png
6.43.6.4
43 4 | 3
Octahemioctahedron.png
6.32.6.3
32 3 | 3
Truncated hexahedron.png
Cubo troncato
Great rhombihexahedron.png
4.83.43.85
2 43 (32 42) |
Great cubicuboctahedron.png
83.3.83.4
3 4 | 43
Uniform great rhombicuboctahedron.png
4.32.4.4
32 4 | 2
Truncated octahedron.png
Ottaedro troncato
 
Small rhombicuboctahedron.png
Rombicubottaedro
Small rhombihexahedron.png
4.8.43.8
2 4 (32 42) |
Small cubicuboctahedron.png
8.32.8.4
32 4 | 4
Stellated truncated hexahedron.png
83.83.3
2 3 | 43
Great truncated cuboctahedron convex hull.png
Cubottaedro troncato
non uniforme
Great truncated cuboctahedron.png
4.6.83
2 3 43 |
Cubitruncated cuboctahedron convex hull.png
Cubottaedro troncato
non uniforme
Cubitruncated cuboctahedron.png
83.6.8
3 4 43 |
Snub hexahedron.png
Cubo simo
 

Simmetria icosaedrica[modifica | modifica wikitesto]

Triangoli (5 3 2) su una sfera.

Esistono 8 poliedri convessi e 46 non convessi aventi simmetria icosaedrica (con dominio fondamentale il triangolo di Möbius (5 3 2)), 47 se si considera anche il grande dirombidodecaedro dicamuso, detto anche "poliedro di Skilling".

Disposizione dei vertici
(Inviluppo convesso)
Poliedri stellati
Icosahedron.png
Icosaedro
Great dodecahedron.png
{5,52}
Small stellated dodecahedron.png
{52,5}
Great icosahedron.png
{3,52}
Nonuniform truncated icosahedron.png
Icosaedro troncato
non uniforme
Great truncated dodecahedron.png
10.10.52
2 52 | 5
Great dodecicosidodecahedron.png
3.103.52.107
52 3 | 53
Uniform great rhombicosidodecahedron.png
3.4.53.4
53 3 | 2
Great rhombidodecahedron.png
4.103.43.107
2 53 (32 54) |
Rhombidodecadodecahedron convex hull.png
Icosaedro troncato
non uniforme
Rhombidodecadodecahedron.png
4.52.4.5
52 5 | 2
Icosidodecadodecahedron.png
5.6.53.6
53 5 | 3
Rhombicosahedron.png
4.6.43.65
2 3 (54 52) |
Small snub icosicosidodecahedron convex hull.png
Icosaedro troncato
non uniforme
Small snub icosicosidodecahedron.png
35.52
| 52 3 3
Icosidodecahedron.png
Icosidodecaedro
Small icosihemidodecahedron.png
3.10.32.10
32 3 | 5
Small dodecahemidodecahedron.png
5.10.54.10
54 5 | 5
Great icosidodecahedron.png
3.52.3.52
2 | 3 52
Great dodecahemidodecahedron.png
52.103.53.103
53 52 | 53
Great icosihemidodecahedron.png
3.103.32.103
3 3 | 53
Dodecadodecahedron.png
5.52.5.52
2 | 5 52
Small dodecahemicosahedron.png
6.52.6.53
53 52 | 3
Great dodecahemicosahedron.png
5.6.54.6
54 5 | 3
Truncated dodecahedron.png
Dodecaedro troncato
non uniforme
Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
3.103.5.103
3 5 | 53
Great icosicosidodecahedron.png
5.6.32.6
32 5 | 3
Great dodecicosahedron.png
6.103.65.107
3 53 (32 52) |
Small retrosnub icosicosidodecahedron convex hull.png
Dodecaedro troncato
non uniforme
Small retrosnub icosicosidodecahedron.png
(35.53)/2
| 32 32 52
Dodecahedron.png
Dodecaedro
Great stellated dodecahedron.png
{52,3}
Small ditrigonal icosidodecahedron.png
(3.52)3
3 | 52 3
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
(5.53)3
3 | 53 5
Great ditrigonal icosidodecahedron.png
(3.53)/2

32 | 3 5

Small rhombicosidodecahedron.png
Rombicosidodecaedro
Small dodecicosidodecahedron.png
5.10.32.10
32 5 | 5
Small rhombidodecahedron.png
4.10.43.109
2 5 (32 52) |
Small stellated truncated dodecahedron.png
5.103.103
2 5 | 53
Truncated great icosahedron convex hull.png
Rombicosidodecaedro
non uniforme
Great truncated icosahedron.png
6.6.52
2 52 | 3
Nonuniform-rhombicosidodecahedron.png
Rombicosidodecaedro
non uniforme
Small icosicosidodecahedron.png
6.52.6.3
52 3 | 3
Small ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
3.10.53.10
53 3 | 5
Small dodecicosahedron.png
6.10.65.109
3 5 (32 54) |
Great stellated truncated dodecahedron.png
3.103.103
2 3 | 53
Nonuniform2-rhombicosidodecahedron.png
Rombicosidodecaedro
non uniforme
Great dirhombicosidodecahedron.png
4.53.4.3.4.52.4.32
| 32 53 3 52
Great snub dodecicosidodecahedron.png
3.3.3.52.3.53
| 53 52 3
Icositruncated dodecadodecahedron convex hull.png
Icosidodecaedro troncato
non uniforme
Icositruncated dodecadodecahedron.png
6.10.103
3 5 53 |
Truncated dodecadodecahedron convex hull.png
Icosidodecaedro troncato
non uniforme
Truncated dodecadodecahedron.png
4.109.103
2 5 53 |
Great truncated icosidodecahedron convex hull.png
Icosidodecaedro troncato
non uniforme
Great truncated icosidodecahedron.png
4.6.103
2 3 53 |
Snub dodecahedron ccw.png
Dodecaedro camuso
non uniforme
Snub dodecadodecahedron.png
3.3.52.3.5
| 2 52 5
Snub icosidodecadodecahedron.png
3.3.3.5.3.53
| 53 3 5
Great snub icosidodecahedron.png
34.52
| 2 52 3
Great inverted snub icosidodecahedron.png
34.53
| 53 2 3
Inverted snub dodecadodecahedron.png
3.3.5.3.53
| 53 2 5
Great retrosnub icosidodecahedron.png
(34.52)/2
| 32 53 2

Casi degeneri[modifica | modifica wikitesto]

Nei suoi studi H. S. M. Coxeter ha identificato diversi poliedri stellati degeneri realizzati attraverso il metodo di costruzione di Wythoff, i quali contengono facce o spigoli sovrapposti.[3] Tali poliedri includono:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Zvi HarEl, Uniform Solution for Uniform Polyhedra, Israel Institute of Technology, 1993. URL consultato il 6 giugno 2021.
  2. ^ Magnus Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1974, ISBN 0-521-09859-9, OCLC 1738087.
  3. ^ Harold Scott Macdonald Coxeter, Michael Selwyn Longuet-Higgins e J. C. P. Miller, Uniform Polyhedra, in Philosophical Transactions of The Royal Society, vol. 246, n. 916, The Royal Society Publishing, 1954. URL consultato il 6 giugno 2021.

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