Poliedro duale

In geometria, il poliedro duale di un poliedro $P$ è un altro poliedro $Q$ , tale che ad ogni vertice di $P$ corrisponde una ed una sola faccia di $Q$ . In altre parole, lo si ottiene scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di $P$ . Il duale di $Q$ è di nuovo $P$ .

Se $P$ e $Q$ hanno la stessa struttura combinatoria, $P$ è detto autoduale. Fra i 5 solidi platonici, il tetraedro è autoduale, mentre cubo e ottaedro sono uno duale dell'altro; anche icosaedro e dodecaedro sono uno duale dell'altro.

Il duale di un solido archimedeo è un solido di Catalan.

Definizioni

Non esiste una definizione univoca di poliedro duale che funzioni per tutti i poliedri. Vi sono due nozioni, una combinatoria e l'altra metrica, che sono generalmente coincidenti nei poliedri più regolari.

Dualità combinatoria

Dal punto di vista combinatorio, due poliedri $P$ e $Q$ sono duali se esiste una corrispondenza biunivoca $T$ fra gli insiemi di vertici, spigoli e facce di $P$ e $Q$ che inverte le adiacenze. Più precisamente:

$T$ associa rispettivamente ad un vertice, spigolo o faccia di $P$ una faccia, spigolo o vertice di $Q$ ;
Una faccia $F$ di $P$ incide su uno spigolo $S$ se e solo se lo spigolo $T(S)$ incide sul vertice $T(F)$ ; viceversa, uno spigolo $S$ incide su un vertice $V$ di $P$ se e solo se la faccia $T(V)$ incide su $T(S)$ .

Questa dualità è detta dualità combinatoria. La dualità combinatoria non tiene conto delle grandezze metriche dei poliedri, e cioè dei loro volumi, delle lunghezze dei loro spigoli, o degli angoli formati da questi.

Se $P$ è un poliedro convesso, un duale combinatorio è ottenuto scegliendo un vertice all'interno di ogni faccia e prendendo l'inviluppo convesso di questi punti. Dal punto di vista metrico il duale dipende dalla scelta dei punti, ma non dal punto di vista combinatorio.

Dualità metrica

Dal punto di vista metrico, due poliedri $P$ e $Q$ sono duali se sono ottenuti l'uno dall'altro tramite inversione lungo una sfera $S$ . In questo caso si parla di dualità metrica.

Molti solidi, come i solidi regolari o i solidi archimedei, hanno un "centro" $O$ . In questo caso, il duale del solido è generalmente considerato il duale metrico secondo una qualsiasi sfera centrata in $O$ . Sfere con raggi diversi danno luogo a poliedri simili: il poliedro duale è quindi ben definito metricamente solo a meno di similitudine.

Poliedri duali

Solidi platonici

solido		duale
tetraedro		tetraedro
cubo		ottaedro
icosaedro		dodecaedro

Solidi archimedei

solido		duale
tetraedro troncato		triacistetraedro
cubo troncato		triacisottaedro
ottaedro troncato		tetracisesaedro
cubottaedro		dodecaedro rombico
rombicubottaedro		icositetraedro trapezoidale
cubottaedro troncato		esacisottaedro
cubo simo		icositetraedro pentagonale
dodecaedro troncato		triacisicosaedro
icosaedro troncato		pentacisdodecaedro
icosidodecaedro		triacontaedro rombico
rombicosidodecaedro		esacontaedro trapezoidale
icosidodecaedro troncato		esacisicosaedro
dodecaedro simo		esacontaedro pentagonale