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In matematica , per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m +1-esima della funzione Gamma :
ψ
m
(
z
)
:=
(
d
d
z
)
m
+
1
ln
Γ
(
z
)
=
(
d
d
z
)
m
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
=
(
d
d
z
)
m
ψ
0
(
z
)
{\displaystyle \psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)}
Qui
ψ
0
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi _{0}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}
denota la funzione digamma e
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
funzione gamma .
La funzione poligamma si denota anche
ψ
(
m
)
{\displaystyle \,\psi ^{(m)}}
ψ
1
{\displaystyle \,\psi _{1}}
funzione trigamma e la
ψ
2
{\displaystyle \,\psi _{2}}
funzione tetragamma .
Nel semipiano complesso Re z >0 la funzione poligamma si può trattare mediante la seguente rappresentazione integrale.
ψ
n
(
z
)
=
(
−
1
)
n
+
1
∫
0
∞
t
n
e
−
t
z
1
−
e
−
t
d
t
{\displaystyle \psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{n}e^{-tz}}{1-e^{-t}}}dt\ }
Vale la relazione di ricorrenza
ψ
n
(
z
+
1
)
=
ψ
n
(
z
)
+
(
−
)
n
n
!
z
−
(
n
+
1
)
{\displaystyle \psi _{n}(z+1)=\psi _{n}(z)+(-)^{n}\;n!\;z^{-(n+1)}}
Una poligamma ha la seguente rappresentazione mediante serie
ψ
n
(
z
)
=
(
−
1
)
n
+
1
n
!
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
n
+
1
{\displaystyle \psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\;n!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{n+1}}}}
che vale per n>0 e per ogni argomento complesso che non sia un intero negativo.
Questa identità può essere scritta più concisamente servendosi della funzione zeta di Hurwitz
ψ
n
(
z
)
=
(
−
1
)
n
+
1
n
!
ζ
(
n
+
1
,
z
)
{\displaystyle \psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\;n!\;\zeta (n+1,z)}
Si osserva quindi che la zeta di Hurwitz costituisce una famiglia di funzioni che amplia la famiglia costituita dalla poligamma: questa è caratterizzata da un parametro che varia nell'insieme degli interi positivi e la prima famiglia la amplia consentendo al parametro di variare nel campo complesso.
Lo sviluppo di Taylor con centro in z0 =1 è
ψ
n
(
z
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
n
+
k
+
1
(
n
+
k
)
!
ζ
(
n
+
k
+
1
)
z
k
k
!
{\displaystyle \psi _{n}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{n+k+1}(n+k)!\;\zeta (n+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}}
che converge per |z |<1. Qui
ζ
(
s
)
{\displaystyle \,\zeta (s)}
funzione zeta di Riemann .
Valgono inoltre la formula di riflessione
ψ
n
(
1
−
z
)
+
(
−
1
)
n
+
1
ψ
n
(
z
)
=
(
−
1
)
n
π
d
n
d
z
n
cot
(
π
z
)
{\displaystyle \psi _{n}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi _{n}(z)=(-1)^{n}\,\pi \,{d^{n} \over dz^{n}}\cot(\pi z)}
e la formula di moltiplicazione
ψ
n
(
m
z
)
=
δ
n
,
0
ln
m
+
1
m
n
+
1
∑
k
=
0
m
−
1
ψ
n
(
z
+
k
m
)
{\displaystyle \psi _{n}(mz)=\delta _{n,0}\ln m+{1 \over m^{n+1}}\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{n}\left(z+{k \over m}\right)}
Si dimostra che
d
d
z
ln
Γ
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
=
ψ
0
(
z
)
=
−
γ
−
1
z
−
∑
k
=
1
∞
(
1
z
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right)}
dove
γ
{\displaystyle \gamma }
costante di Eulero-Mascheroni . Questa serie, per
z
=
m
{\displaystyle z=m}
Γ
′
(
m
)
Γ
(
m
)
=
ψ
0
(
m
)
=
−
γ
+
1
+
1
2
+
⋯
+
1
m
−
1
{\displaystyle {\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=\psi _{0}(m)=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}}
Derivando membro a membro rispetto a
z
{\displaystyle z}
d
d
z
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
=
ψ
1
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
2
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}}
che per
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
serie armonica generalizzata di ordine 2
[
d
d
z
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
]
z
=
1
=
ψ
1
(
1
)
=
∑
k
=
0
∞
1
(
1
+
k
)
2
=
∑
k
=
1
∞
1
k
2
=
ζ
(
2
)
=
π
2
6
{\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+k)^{2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
![{\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+k)^{2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e57dca2da2a9efe4702fc7723086557b630290a)
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