Funzione poligamma

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In matematica, per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m+1-esima della funzione Gamma:

.

Qui

denota la funzione digamma e denota la funzione gamma.

Generalità[modifica | modifica wikitesto]

La funzione poligamma si denota anche . La funzione viene detta anche funzione trigamma e la funzione tetragamma.

Nel semipiano complesso Re z >0 la funzione poligamma si può trattare mediante la seguente rappresentazione integrale.

.

Vale la relazione di ricorrenza

Una poligamma ha la seguente rappresentazione mediante serie

che vale per n>0 e per ogni argomento complesso che non sia un intero negativo. Questa identità può essere scritta più concisamente servendosi della funzione zeta di Hurwitz

.

Si osserva quindi che la zeta di Hurwitz costituisce una famiglia di funzioni che amplia la famiglia costituita dalla poligamma: questa è caratterizzata da un parametro che varia nell'insieme degli interi positivi e la prima famiglia la amplia consentendo al parametro di variare nel campo complesso.

Lo sviluppo di Taylor con centro in z0=1 è

che converge per |z|<1. Qui denota la funzione zeta di Riemann.

Valgono inoltre la formula di riflessione

e la formula di moltiplicazione

Alcuni valori particolari[modifica | modifica wikitesto]

Si dimostra che

dove è la costante di Eulero-Mascheroni. Questa serie, per intero positivo, si riduce ad una somma finita

Derivando membro a membro rispetto a si ha, ancora,

che per diverge, mentre per diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


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