In matematica, per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m+1-esima della funzione Gamma:
.
Qui
![{\displaystyle \psi _{0}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a42a1fe612d66e701cd0342b38db0c26111bd5)
denota la funzione digamma e
denota la funzione gamma.
La funzione poligamma si denota anche
.
La funzione
viene detta anche funzione trigamma e la
funzione tetragamma.
Nel semipiano complesso Re z >0 la funzione poligamma si può trattare mediante la seguente rappresentazione integrale.
.
Vale la relazione di ricorrenza
![{\displaystyle \psi _{n}(z+1)=\psi _{n}(z)+(-)^{n}\;n!\;z^{-(n+1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbd1188bf08438dac0b4ead09cd2185ea81fc4c)
Una poligamma ha la seguente rappresentazione mediante serie
![{\displaystyle \psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\;n!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3119d35e14fd317ff79a975726a5e69bc9d4d837)
che vale per n>0 e per ogni argomento complesso che non sia un intero negativo.
Questa identità può essere scritta più concisamente servendosi della funzione zeta di Hurwitz
.
Si osserva quindi che la zeta di Hurwitz costituisce una famiglia di funzioni che amplia la famiglia costituita dalla poligamma: questa è caratterizzata da un parametro che varia nell'insieme degli interi positivi e la prima famiglia la amplia consentendo al parametro di variare nel campo complesso.
Lo sviluppo di Taylor con centro in z0=1 è
![{\displaystyle \psi _{n}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{n+k+1}(n+k)!\;\zeta (n+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea38b2000dc3dd750149f31f10a8ca573082750)
che converge per |z|<1. Qui
denota la funzione zeta di Riemann.
Valgono inoltre la formula di riflessione
![{\displaystyle \psi _{n}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi _{n}(z)=(-1)^{n}\,\pi \,{d^{n} \over dz^{n}}\cot(\pi z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841e82523fc233ed50f44131d05ac6b1bf4d868a)
e la formula di moltiplicazione
![{\displaystyle \psi _{n}(mz)=\delta _{n,0}\ln m+{1 \over m^{n+1}}\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{n}\left(z+{k \over m}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdec14694cf95252fe734f02fcaff04af94acb2)
Si dimostra che
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7458195a6cf3bff1021e4433464abd5ea07660b)
dove
è la costante di Eulero-Mascheroni. Questa serie, per
intero positivo, si riduce ad una somma finita
![{\displaystyle {\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=\psi _{0}(m)=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869d0591d1786ac8d184c7f2d857262f90d97f15)
Derivando membro a membro rispetto a
si ha, ancora,
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01dac549bec26c262f8b19e2231091e33fb3a24f)
che per
diverge, mentre per
diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2
![{\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+k)^{2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e57dca2da2a9efe4702fc7723086557b630290a)