Costanti di Stieltjes

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Costanti di Stieltjes
Simbolo \gamma_n
Origine del nome matematico da cui la costante prende il nome
Campo numeri reali
Costanti correlate Costante di Eulero-Mascheroni

In matematica, le Costanti di Stieltjes \gamma_n sono dei coefficienti che si trovano nell'espansione in Serie di Laurent della funzione zeta di Riemann:

\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n.

Si possono definire anche come il limite

 \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}
{\left(\left(\sum_{k = 1}^m  \frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)}.

I primi valori sono:

n Valore
0 0.5772156649015328606065120900824024310421
1 -0.072815845483676724860586
2 -0.0096903631928723184845303
3 0.002053834420303345866160
4 0.0023253700654673000574
5 0.0007933238173010627017
6 -0.00023876934543019960986
7 -0.0005272895670577510
8 -0.00035212335380
9 -0.0000343947744
10 0.000205332814909

La zeresima costante \gamma_0 = \gamma = 0.577215... è più nota come Costante di Eulero-Mascheroni.

La Formula integrale di Cauchy permette di ottenere una rappresentazione integrale delle costanti:

\gamma_n = \frac{(-1)^n n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-nix} \zeta\left(e^{ix}+1\right) dx.

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