Polilogaritmo

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In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze

se per ogni tale che . Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto tramite il prolungamento analitico.

Per il polilogaritmo coincide col classico logaritmo

Per il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale.

Il nome deriva dal fatto che il polilogaritmo può essere definito mediante la ripetizione dell'integrale

quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Una formula importante dovuta a Eulero è

Per essa permette di trovare il valore del dilogaritmo di :

L'integrale di Spence è un caso particolare del dilogaritmo. Esistono anche relazioni del dilogaritmo con le funzioni di Debye (vedi Abramowitz e Stegun).

Se , per la funzione polilogaritmo di ordine si riduce alla funzione zeta di Riemann in :

Il polilogaritmo può anche essere scritto in termini di integrale della distribuzione di Bose-Einstein nel seguente modo:è

dove è la funzione Gamma di Eulero. Esso converge per e per ogni eccetto gli minori di . Questa rappresentazione permette di calcolare il valore di integrali del tipo

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

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Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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