Polinomio di Legendre

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In matematica per funzioni di Legendre si intendono le soluzioni dell'equazione di Legendre, un'equazione differenziale ordinaria che si incontra spesso nella fisica e in vari settori tecnologici: ad esempio nella soluzione in coordinate sferiche dell'equazione di Laplace e di equazioni differenziali alle derivate parziali. Queste funzioni sono così chiamate in onore di Adrien-Marie Legendre, e spesso intervengono nella soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Legendre.
Grafico dei polinomi di Legendre per n ≤ 5

L'equazione di Legendre si può risolvere con metodi standard delle serie di potenze. Si hanno soluzioni date da serie convergenti per |x| < 1. Si hanno soluzioni convergenti anche per x = ± 1 purché n sia un intero naturale, n = 0, 1, 2,... : in tal caso le soluzioni al variare di n formano una successione polinomiale detta successione dei polinomi di Legendre.

Il polinomio di Legendre Pn(x) ha grado n e può essere espresso mediante la formula di Rodriguez:

I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo -1 ≤ x ≤ 1 rispetto al prodotto interno L2:

qui denota la delta di Kronecker, uguale a 1 se m = n e uguale a 0 in caso contrario.

Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram - Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale {1, x, x2, ...} e poi moltiplicare i nuovi polinomi ottenuti per con che indica l'ennesimo polinomio di Legendre.

Questi sono i primi polinomi di Legendre:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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