Teorema di Liouville (analisi complessa)

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In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Liouville è un teorema riguardante una proprietà caratteristica delle funzioni intere. Stabilisce che, detta una funzione intera, se esiste tale che per ogni , ovvero se è limitata, allora è costante.

Il teorema di Liouville può essere rafforzato dal piccolo teorema di Picard che afferma che l'immagine di attraverso una funzione intera non costante è o tutto il piano complesso o il piano complesso privato di un punto. Permette inoltre di ottenere una semplice dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dato che è intera si potrà scrivere un suo sviluppo attorno all'origine:

Per i coefficienti, valgono le seguenti relazioni ricavabili tramite il teorema integrale di Cauchy e la formula di Cauchy:

dove è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio , abbastanza grande da contenere .

Applicando il lemma di Darboux si ottiene la seguente disuguaglianza:

Se si impone adesso che il modulo di sia limitato dal numero positivo , si vede che per tutti gli naturali diversi da 0, la quantità e di conseguenza tende a 0 se tende all'infinito. Di conseguenza per ogni , che è la tesi.

Estensione[modifica | modifica wikitesto]

Un'estensione del teorema si può operare indebolendo le ipotesi, ossia richiedendo non che la funzione sia limitata, ma che essa abbia valori in un semipiano.

Sia una funzione intera. Se è contenuta in un semipiano, allora è costante.

Infatti, senza ledere la generalità si può supporre che il semipiano sia il semipiano individuato dai numeri complessi avente parte reale positiva. Detta la parte reale di , risulta quindi che è armonica (poiché parte reale di una funzione olomorfa) e positiva, quindi è costante. Dalle relazioni di Cauchy-Riemann si ha anche che è costante.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) V.S. Vladimirov, Methods of the theory of functions of several complex variables , M.I.T. (1966)
  • (FR) G. Monge, Application de l'analyse à la géométrie , Bachelier (1850) pp. 609–616
  • (RU) A.V. Bitsadze, Fundamentals of the theory of analytic functions of a complex variable , Moscow (1972)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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