Algebra di Lie nilpotente

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In matematica, un'algebra di Lie si dice nilpotente se la sua serie centrale discendente, definita come

diviene 0 dopo un certo numero finito di passaggi. Equivalentemente, si dice nilpotente se

per ogni sequenza di elementi abbastanza lunga, dove indica l'endomorfismo aggiunto associato a .

Conseguenza di questo è che è nilpotente (come operatore lineare) per ogni . Il teorema di Engel dimostra che è vero anche il viceversa. Inoltre, la forma di Killing di un'algebra di Lie nilpotente è identicamente nulla.

Ogni algebra nilpotente è risolubile. Questo fatto è spesso usato per dimostrare che una certa algebra sia risolubile, in quanto dimostrare la nilpotenza è più semplice. Il viceversa non è in generale vero.

Un'algebra di Lie è nilpotente se e solo se il suo quoziente rispetto ad un ideale contenente il centro di è anch'esso nilpotente.

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