Funzione omogenea

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In matematica si dice funzione omogenea di grado k una funzione tale che quando si moltiplica per un certo numero α > 0 ogni sua variabile, il suo valore si calcola moltiplicando per αk la funzione calcolata negli argomenti originari (cioè senza α).

Per esempio, se una funzione è omogenea di grado 1, quando tutti i suoi membri sono moltiplicati per un certo numero α > 0, il valore della funzione è moltiplicato per lo stesso numero α. Se k=1 si parla di funzioni linearmente omogenee.

Le funzioni omogenee (in particolare i polinomi omogenei) sono fondamentali in geometria algebrica, poiché per definire il luogo degli zeri di un polinomio in uno spazio proiettivo occorre che tale insieme sia invariante rispetto al sistema di coordinate omogenee scelto. Ciò è garantito dai polinomi omogenei: infatti se per una certa scelta delle coordinate il polinomio si annulla nel punto, grazie alla proprietà di omogeneità si annullerà anche in ogni multiplo di tale punto, cioè in ogni altra possibile rappresentazione.

Questo concetto ha fruttuose applicazioni anche in economia, visto che molte funzioni di produzione sono omogenee di grado 1 (cioè hanno rendimenti di scala costanti) o zero. Supponiamo che un consumatore scelga i beni da acquistare, a seconda del reddito e dei prezzi, tra tutti i panieri che si può permettere, e a seconda delle sue preferenze. Possiamo allora vedere la domanda come una funzione dei prezzi e del suo reddito. Questa funzione si dimostra essere omogenea di grado 0: se tutti i prezzi e il reddito del consumatore vengono moltiplicati per , la domanda di beni del medesimo consumatore resta la stessa (legge di omogeneità, in assenza di illusione monetaria).

In fisica, le funzioni omogenee sono fondamentali per la teoria dei fenomeni critici, in particolare per la teoria dello scaling e per il gruppo di rinormalizzazione.

In termodinamica chimica sono funzioni omogenee di grado 1, le funzioni energia interna U(S,V,ni), entalpia H(S,P,ni), energia libera di Helmholtz A(T,V,ni) e energia libera di Gibbs G(T,P,ni).

Definizione rigorosa di funzione omogenea[modifica | modifica wikitesto]

Se con , una funzione definita su un cono di si dice funzione (positivamente) omogenea di grado k se per ogni scelta di variabili

Si dice omogenea una funzione per cui la relazione sopra valga per ogni .

Se tutte le variabili sono nulle si ha necessariamente

La funzione nulla è l'unica funzione omogenea di grado per ogni k reale.

La definizione si può estendere, mantenendo identiche le notazioni, a funzionali definiti in spazi vettoriali qualsiasi a valori nel rispettivo campo. Notare però che perché abbia senso parlare di funzioni positivamente omogenee, deve essere definita una nozione di positività degli elementi del campo, cioè esso deve essere un campo ordinato.

Derivata di una funzione omogenea[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione omogenea di grado k e parzialmente derivabile, allora vale la seguente proposizione:

  • Ogni derivata parziale con è una funzione omogenea di grado (k - 1)

Dimostrazione:

Derivando rispetto alle entrambi i membri dell'identità seguente

si ottiene

Dividendo entrambi i membri per α si ottiene l'asserto

Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione differenziabile su un cono aperto . Allora è omogenea di grado su se e solo se vale l'identità detta identità di Eulero:

il primo membro è esattamente il prodotto scalare .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Applichiamo prima la sostituzione ottenendo

Differenziando ora rispetto ad α

Utilizziamo ora le derivate delle

ottenendo

vera per ogni

In particolare ponendo si ottiene

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Per consideriamo la funzione definita da

Si vede chiaramente che la funzione è omogenea di grado se e solo se la funzione è costante ed uguale ad all'interno di tutto il suo dominio di definizione. Dal Teorema di Lagrange ciò avviene se e solo la derivata prima di è identicamente nulla in tutto il suo dominio . Per ipotesi è differenziabile dunque vale il teorema di derivazione delle funzioni composte ed applicando la formula si ottiene:

Imponendo la condizione di funzione costante otteniamo:

Sfruttando la proprietà che è un cono in si ha che se e solo se dunque a patto di cambiare con possiamo riscrivere la precedente condizione come:

che altro non è che l'identità di Eulero.

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