Principio di sovrapposizione

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In matematica e in fisica, il principio di sovrapposizione stabilisce che per un sistema dinamico lineare l'effetto di una somma di perturbazioni in ingresso è uguale alla somma degli effetti prodotti da ogni singola perturbazione.

In altri termini, la risposta del sistema lineare ad una combinazione lineare di un certo numero di sollecitazioni linearmente indipendenti , con , può ottenersi sommando le singole risposte che ciascuna di esse produrrebbe se agisse da sola (quando cioè le altre sono nulle):

Il principio di sovrapposizione esprime la possibilità di poter scomporre un problema lineare. Se si è in grado di scrivere i dati di input in più componenti linearmente indipendenti (ad esempio, in un moto a due dimensioni si possono considerare la componente verticale e la componente orizzontale) allora è possibile risolvere il problema analizzando separatamente ciascuna delle componenti: si calcola ogni singola risposta e poi si sommano le singole risposte secondo la stessa proporzione (ovvero con gli stessi coefficienti ) in cui erano sommati i dati in ingresso.

Sistemi stazionari (LTI)[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare stazionario.

Dato un sistema lineare stazionario:

con , , e matrici non dipendenti dal tempo, sia la risposta del sistema all'ingresso quando il sistema è nello stato iniziale .

Dato lo stato iniziale , con , il principio di sovrapposizione implica che ad un ingresso corrisponde l'uscita:

Grazie a questo fatto l'uscita può essere espressa come la somma:

della risposta libera e della risposta forzata . Utilizzando la trasformata di Laplace si può anche scrivere, nello specifico:

dove è la trasformata di e le matrici e sono date da:

Il termine è lineare rispetto a e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale . Il termine è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso .

Si ha infatti:

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il principio si applica ogni qualvolta sia coinvolta una trasformazione lineare, come possono essere i sistemi di equazioni lineari e le equazioni differenziali lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali. In presenza di un sistema:

dove è una matrice e un vettore, il principio afferma che se e sono soluzioni dei sistemi con termini noti e , allora risolve il sistema:

Fisica[modifica | modifica wikitesto]

Le scie che le anatre producono sulla superficie dello stagno si compongono secondo il principio di sovrapposizione

I fenomeni naturali che rispettano il principio di sovrapposizione sono diversi; ad esempio le equazioni di Maxwell stabiliscono un legame lineare tra carica e campi magnetici, e quindi si può applicare il principio quando si deve descrivere l'interazione di più cariche.

Ingegneria[modifica | modifica wikitesto]

In teoria dei segnali, la sovrapposizione lineare è alla base dell'analisi di Fourier per la scomposizione e lo studio dei segnali elettrici.

Nell'ingegneria meccanica, l'uso della sovrapposizione degli effetti è utile nell'identificare la distribuzione dei carichi lungo una struttura, per evitare cedimenti.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Nella risoluzione dell'equazione del calore il metodo di separazione delle variabili fa uso del concetto di autovalore e autofunzione di un operatore differenziale ellittico e della sua decomposizione spettrale. Imponendo che la soluzione sia della forma (con e tra loro indipendenti) si giunge alla risoluzione del sistema:

che ha come soluzioni e , dove è un'autofunzione del laplaciano. Siccome è noto che, sotto certe ipotesi sui dati, l'insieme delle autofunzioni costituisce una base dello spazio funzionale ambiente, si ricostruisce infine la soluzione dell'equazione di partenza come:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) N. K. Verma, Physics for Engineers, PHI Learning Pvt. Ltd., Oct 18, 2013, 592 pp. [1]
  • (EN) Tim Freegard, Introduction to the Physics of Waves, Cambridge University Press, Nov 8, 2012. [2]
  • (EN) Joseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, Mechanical Engineering Design (2004) McGraw-Hill Professional, p. 192 ISBN 0-07-252036-1
  • (EN) Bathe, K. J., Finite Element Procedures , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, p. 785 ISBN 0-13-301458-4

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]