Principio di sovrapposizione

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In matematica e in fisica, il principio di sovrapposizione stabilisce che per un sistema dinamico lineare l'effetto di una somma di perturbazioni in ingresso è uguale alla somma degli effetti prodotti da ogni singola perturbazione.

In altri termini, la risposta del sistema lineare H ad una combinazione lineare \alpha_1 \mathbf{x_1} + \alpha_2 \mathbf{x_2} + \dots + \alpha_n \mathbf{x_n} di un certo numero di sollecitazioni linearmente indipendenti \mathbf{x_i}, con \alpha_i \in \R, può ottenersi sommando le singole risposte H(\mathbf{x_i}) che ciascuna di esse produrrebbe se agisse da sola (quando cioè le altre sono nulle):

 H(\alpha_1 \mathbf{x_1} + \alpha_2 \mathbf{x_2} + \dots + \alpha_n \mathbf{x_n}) = \alpha_1 H(\mathbf{x_1})  + \alpha_2 H(\mathbf{x_2}) + \dots + \alpha_n H(\mathbf{x_n})

Il principio di sovrapposizione esprime la possibilità di poter scomporre un problema lineare. Se si è in grado di scrivere i dati di input in più componenti linearmente indipendenti (ad esempio, in un moto a due dimensioni si possono considerare la componente verticale e la componente orizzontale) allora è possibile risolvere il problema analizzando separatamente ciascuna delle componenti: si calcola ogni singola risposta e poi si sommano le singole risposte secondo la stessa proporzione (ovvero con gli stessi coefficienti \alpha_i ) in cui erano sommati i dati in ingresso.

Sistemi stazionari (LTI)[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare stazionario.

Dato un sistema lineare stazionario:

\dot x(t) = A x(t)+B u(t)
y(t) = C x(t)+D u(t)

con A, B, C e D matrici non dipendenti dal tempo, sia y_i(t) la risposta del sistema all'ingresso u_i(t) quando il sistema è nello stato iniziale x_i(t=0).

Dato lo stato iniziale x(0) = \alpha_1 x_1(0) + \alpha_2 x_2(0), con \alpha_i \in \R, il principio di sovrapposizione implica che ad un ingresso u = \alpha_1 u_1(t) + \alpha_2 u_2(t) corrisponde l'uscita:

y(t) = \alpha_1 y_1(t) + \alpha_2 y_2(t)

Grazie a questo fatto l'uscita può essere espressa come la somma:

y(t) = y_L(t) + y_F(t)

della risposta libera y_L e della risposta forzata y_F. Utilizzando la trasformata di Laplace L(s) si può anche scrivere, nello specifico:

L[y(t)](s) = Y(s) = Y_L(s) + Y_F(s) = F(s) x(0) + G(s)U(s)

dove U è la trasformata di u e le matrici F e G sono date da:

F(s) = C(sI - A)^{-1} \qquad G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D

Il termine Y_L è lineare rispetto a x(0) e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale x(0). Il termine Y_F è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso u.

Si ha infatti:

Y(s)= G(s)U(s) + F(s) x(0)= G(s)[ \alpha_1 U_1(s) + \alpha_2 U_2(s)] + F(s)[ \alpha_1 x_1(0) + \alpha_2 x_2(0)] =
=\alpha_1 [G(s)U_1(s) + F(s)x_1(0)] + \alpha_2 [G(s)U_2(s) + F(s)x_2(0)] = \alpha_1 Y_1(t) + \alpha_2 Y_2(t)

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il principio si applica ogni qualvolta sia coinvolta una trasformazione lineare, come possono essere i sistemi di equazioni lineari e le equazioni differenziali lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali. In presenza di un sistema:

Ax=b

dove A è una matrice e b un vettore, il principio afferma che se y e y_0 sono soluzioni dei sistemi con termini noti b e b_0, allora y+y_0 risolve il sistema:

A x = b + b_0

Fisica[modifica | modifica wikitesto]

Le scie che le anatre producono sulla superficie dello stagno si compongono secondo il principio di sovrapposizione

I fenomeni naturali che rispettano il principio di sovrapposizione sono diversi; ad esempio le equazioni di Maxwell stabiliscono un legame lineare tra carica e campi magnetici, e quindi si può applicare il principio quando si deve descrivere l'interazione di più cariche.

Ingegneria[modifica | modifica wikitesto]

In teoria dei segnali, la sovrapposizione lineare è alla base dell'analisi di Fourier per la scomposizione e lo studio dei segnali elettrici.

Nell'ingegneria meccanica, l'uso della sovrapposizione degli effetti è utile nell'identificare la distribuzione dei carichi lungo una struttura, per evitare cedimenti.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Nella risoluzione dell'equazione del calore u_{tt}-\Delta u =0 il metodo di separazione delle variabili fa uso del concetto di autovalore e autofunzione di un operatore differenziale ellittico e della sua decomposizione spettrale. Imponendo che la soluzione sia della forma u(t,x)=f(t)g(x) (con f(t) e  g(x) tra loro indipendenti) si giunge alla risoluzione del sistema:


\left\{
\begin{matrix} \Delta g = -\lambda_k g\\
f'=\lambda_k f\end{matrix}
\right.

che ha come soluzioni g_k(x) e f_k(t)=f_k(0)e^{-\lambda_k t}, dove g_k è un'autofunzione del laplaciano. Siccome è noto che, sotto certe ipotesi sui dati, l'insieme delle autofunzioni costituisce una base dello spazio funzionale ambiente, si ricostruisce infine la soluzione dell'equazione di partenza come:

u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty u_k(t,x)=\sum_{k=1}^\infty g_k(x)f_k(t)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) N. K. Verma, Physics for Engineers, PHI Learning Pvt. Ltd., Oct 18, 2013, 592 pp. [1]
  • (EN) Tim Freegard, Introduction to the Physics of Waves, Cambridge University Press, Nov 8, 2012. [2]
  • (EN) Joseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, Mechanical Engineering Design (2004) McGraw-Hill Professional, p. 192 ISBN 0-07-252036-1
  • (EN) Bathe, K. J., Finite Element Procedures , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, p. 785 ISBN 0-13-301458-4

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]