Pull-back

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In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali ed un operatore lineare , ad ogni tensore associa un tensore dello stesso tipo su . Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di si considerino due varietà lisce qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare un'applicazione liscia e al tensore un campo tensoriale liscio su .

Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione ) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).

Esiste un operatore "duale" del pull-pack che prende il nome di push-forward, che inverte il pull-back.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.

Siano due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa, e . Il pull-back di tramite che si denoterà risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:

.

Ora consideriamo due spazi vettoriali con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali ; sia e allora il pull-back di tramite definito come cioè e tale che per ogni sia così definito

l'operatore prende anche il nome di aggiunto.

Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo , cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo su . Proseguiremo lo studio nel caso di tensori e campi tensoriali covarianti cioè di tipo .

Pull-back di tensori (0,p)[modifica | modifica wikitesto]

Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo ed anche in questo caso gli spazi vattoriali potranno non avere la stessa dimensione e quindi non essere invertibile. Consideriamo allora possiamo definire in questo modo; dati si ha

.

L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se noi consideriamo l'applicazione multilineare così definita

. Per la proprietà di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare

tale che

Ora ricordando che ogni , data una base di , ammette un'unica scrittura del tipo , dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.

Se ora consideriamo due varietà lisce con dimensione rispettivamente m e n, un'applicazione liscia e un campo tensoriale liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trascinare" un campo tensoriale dello stesso tipo su .

Osserviamo che ogni applicazione liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata , tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di , in un punto , fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di nel punto immagine . Ovviamente questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione .

Ora grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti

è così definito

dove è un punto sulla varietà e .

Pull-back di tensori arbitrari[modifica | modifica wikitesto]

Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.

In questo caso avremo due spazi vettoriali con dimensione uguale, un isomorfismo , e un tensore ; il pull-back, dati , per definizione è

.

indica l'iverso dell'aggiunto che esiste perché infatti

.

Quindi la definizione è ben posta e notiamo che nel caso di tensori (0,q) la definizione coincide con quella precedente.

Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta dovranno avere la stessa dimensione e la funzione dovrà essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su , il suo pull-back risulta essere

dove indica sempre l'applicazione tangente e .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo il pull-back di un campo vettoriale ; da quanto detto risulta:

Sia ora tale che e , cioè la soluzione del problema di Cauchy su con dato iniziale .

Allora si ha che è soluzione del PC su con dato iniziale del campo vettoriale . Quindi se ora consideriamo il flusso indotto dal campo vettoriale su , il rispettivo flusso del campo vettoriale su risulta essere .

Espressione sulle basi del pull-back[modifica | modifica wikitesto]

Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà, giustamente, perché i tensori, e il calcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti.

In questa sezione mostreremo invece quale sarà l'espressione del pull-back sulle basi; siano una base su e la rispettiva base duale su , una base su e la duale su . Quindi l'operatore rispetto a queste basi avrà questa rappresentazione

con j indice di riga e i di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein(per tutta la sezione se ne farà uso). Di conseguenza si rappresenta

in pratica risulta essere la trasposta. Quindi la componente su tale base risulta

dove .

Notiamo che al posto di considerare un altro spazio vettoriale avessimo considerato sempre , allora risulterebbe l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensore durante il cambio di base.

Composizione del pull-back[modifica | modifica wikitesto]

Sia data una terza varietà e un diffeomorfismo allora il pull-back di un campo tensoriale su risulta essere il pull-back della composizione di funzioni che è un diffeomorfismo tra e dato che l'applicazione tangente , si ha la seguente relazione:

Da questa relazione dato che il pull-back della funzione identità è l'identità si ha:

Pull-back commuta con la derivata esterna[modifica | modifica wikitesto]

Date due varietà , una funzione liscia , una q-forma su , si ha la seguente uguaglianza:

dove indica la derivata esterna.

Notiamo innanzitutto che è un'uguaglianza tra q+1-forme su , difatti questa relazione è verificata se mostriamo l'uguaglianza tra:

è una funzione scalare liscia su (quindi può essere vista come una 0-forma su ).

Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:

.

Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una q-forma è:

con liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).

Si ha la tesi.

Pull-back e derivata di Lie[modifica | modifica wikitesto]

Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore lungo un campo vettoriale , vi è la seguente relazione:

La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che non dipende dal tempo; da cui:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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