Pull-back

In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali ${\mathcal {V,W}}$ ed un operatore lineare ${\mathcal {L}}:{\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}$, ad ogni tensore $T\in \mathbf {T} _{q}^{p}({\mathcal {W}})$ associa un tensore dello stesso tipo su ${\mathcal {V}}$. Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di ${\mathcal {V,W}}$ si considerino due varietà lisce ${\mathcal {M,N}}$ qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare ${\mathcal {L}}$ un'applicazione liscia $\Phi :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}$ e al tensore $T$ un campo tensoriale liscio su ${\mathcal {N}}$.

Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione $\Phi$) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).

Esiste un operatore "duale" del pull-back che prende il nome di push-forward, che inverte il pull-back.

Esempi

Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.

Siano ${\mathcal {M,N}}$ due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa, $\Phi :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}$ e $f:{\mathcal {N}}\to \mathbb {R}$. Il pull-back di $f$ tramite $\Phi$ che si denoterà $\Phi ^{*}f:{\mathcal {M}}\to \mathbb {R}$ risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:

$f\circ \Phi =f(\Phi )$.

Ora consideriamo due spazi vettoriali ${\mathcal {V,W}}$ con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali ${\mathcal {V^{*},W^{*}}}$; sia $\alpha \in {\mathcal {W}}^{*}$ e ${\mathcal {L}}:{\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}$ allora il pull-back di $\alpha$ tramite ${\mathcal {L}}$ definito come ${\mathcal {L}}^{*}:{\mathcal {W}}^{*}\to {\mathcal {V}}^{*}$ cioè ${\mathcal {L}}^{*}\alpha \in {\mathcal {V}}^{*}$ e tale che per ogni $v\in {\mathcal {V}}$ sia così definito

$\langle v,{\mathcal {L}}^{*}\alpha \rangle :=\langle {\mathcal {L}}v,\alpha \rangle$

l'operatore ${\mathcal {L}}^{*}$ prende anche il nome di aggiunto.

Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo $(0,0)$, cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo $(0,1)$ su ${\mathcal {W}}$. Proseguiremo lo studio nel caso di tensori e campi tensoriali covarianti cioè di tipo $(0,p)$.

Pull-back di tensori (0,p)

Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo $(0,1)$ ed anche in questo caso gli spazi vettoriali ${\mathcal {V,W}}$ potranno non avere la stessa dimensione e quindi ${\mathcal {L}}$ non essere invertibile. Consideriamo $T\in \mathbf {T} _{p}^{0}({\mathcal {W}})$ allora possiamo definire ${\mathcal {L}}^{*}T\in \mathbf {T} _{p}^{0}({\mathcal {V}})$ in questo modo; dati $v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}\in {\mathcal {V}}$ si ha

${\mathcal {L}}^{*}T(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}):=T({{\mathcal {L}}v_{1},{\mathcal {L}}v_{2},\cdots ,{\mathcal {L}}v_{p}})$.

L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se noi consideriamo l'applicazione multilineare così definita

$\phi :{\mathcal {W}}^{*}\times {\mathcal {W}}^{*}\times \cdots \times {\mathcal {W}}^{*}\to \otimes ^{p}{\mathcal {V}}^{*}$

$\phi (\beta ^{1},\dots ,\beta ^{p})={\mathcal {L}}^{*}\beta ^{1}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {L}}^{*}\beta ^{p}$

$\beta ^{i}\in {\mathcal {W}}^{*}\quad i=1,\dots ,p$. Per la proprietà di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare

$\otimes ^{p}{\mathcal {L}}^{*}:\otimes ^{p}{\mathcal {W}}^{*}\to \otimes ^{p}{\mathcal {V}}^{*}$

tale che

$\otimes ^{p}{\mathcal {L}}^{*}(\beta ^{1}\otimes \cdots \otimes \beta ^{p})={\mathcal {L}}^{*}\beta ^{1}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {L}}^{*}\beta ^{p}$

Ora ricordando che ogni $T\in \mathbf {T} _{p}^{0}({\mathcal {W}})$, data una base $\eta _{i}\in {\mathcal {W}}^{*}\quad i=1,\dots ,p$ di ${\mathcal {W}}^{*}$, ammette un'unica scrittura del tipo $T^{i_{1},\dots ,i_{p}}\eta _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \eta _{i_{p}}$, dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.

Se ora consideriamo due varietà lisce ${\mathcal {M,N}}$ con dimensione rispettivamente m e n, un'applicazione $\Phi :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}$ liscia e un campo tensoriale $T\in \mathbf {T} _{p}^{0}{\mathcal {N}}$ liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trascinare" un campo tensoriale dello stesso tipo su ${\mathcal {M}}$.

Osserviamo che ogni applicazione $\Phi$ liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata $T\Phi :T{\mathcal {M}}\to T{\mathcal {N}}$, tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di ${\mathcal {M}}$, in un punto $M$, fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di ${\mathcal {N}}$ nel punto immagine $\Phi (M)$. Ovviamente questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione $\Phi$.

Ora grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti

$\Phi ^{*}T\in \mathbf {T} _{p}^{0}{\mathcal {M}}$

è così definito

$\Phi ^{*}T|_{M}(X_{1},\cdots ,X_{p})=T|_{\Phi (M)}(T\Phi X_{1},\cdots ,T\Phi X_{p})$

dove $M$ è un punto sulla varietà ${\mathcal {M}}$ e $X_{1},\cdots ,X_{p}\in T{\mathcal {M}}$.

Pull-back di tensori arbitrari

Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.

In questo caso avremo due spazi vettoriali ${\mathcal {V,W}}$ con dimensione uguale, un isomorfismo ${\mathcal {L}}:{\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}$, e un tensore $T\in \mathbf {T} _{q}^{p}{\mathcal {W}}$; il pull-back, dati $\beta ^{1},\cdots ,\beta ^{p}\in {\mathcal {V^{*}}}\quad v_{1},\cdots ,v_{q}\in {\mathcal {V}}$, per definizione è

${\mathcal {L}}^{*}T(\beta ^{1},\cdots ,\beta ^{p},v_{1},\cdots ,v_{q})=T({\mathcal {L^{*}}}^{-1}\beta ^{1},\cdots ,{\mathcal {L^{*}}}^{-1}\beta ^{p},{\mathcal {L}}v_{1},\cdots ,{\mathcal {L}}v_{q})$.

${\mathcal {L^{*}}}^{-1}$ indica l'iverso dell'aggiunto che esiste perché ${\mathcal {L^{-1}}}^{*}={\mathcal {L^{*}}}^{-1}$ infatti

${\mathcal {L^{*}}}:{\mathcal {W^{*}}}\to {\mathcal {V^{*}}}$

${\mathcal {L^{*}}}^{-1}:{\mathcal {V^{*}}}\to {\mathcal {W^{*}}}$.

Quindi la definizione è ben posta e notiamo che nel caso di tensori (0,q) la definizione coincide con quella precedente.

Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta ${\mathcal {M,N}}$ dovranno avere la stessa dimensione e la funzione $\Phi$ dovrà essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su ${\mathcal {N}}$, il suo pull-back risulta essere

$\Phi ^{*}T|_{M}(\alpha ^{1},\cdots ,\alpha ^{p},X_{1},\cdots ,X_{q})=T|_{\Phi (M)}(T\Phi ^{*-1}\alpha ^{1},\cdots ,T\Phi ^{*-1}\alpha ^{p},T\Phi X_{1},\cdots ,T\Phi X_{q})$

dove $T\Phi$ indica sempre l'applicazione tangente e $\alpha ^{i}\in T^{*}{\mathcal {M}}\quad X_{j}\in T{\mathcal {M}}$.

Esempio

Consideriamo il pull-back di un campo vettoriale $X\in T{\mathcal {N}}$; da quanto detto risulta:

$\Phi ^{*}X=T\Phi ^{-1}X\in {\mathcal {M}}$

Sia ora $\gamma :I\in \mathbb {R} \to {\mathcal {N}}$ tale che ${\frac {d\gamma }{dt}}=X\quad \forall t\in I\quad$ e $\gamma (0)=N_{0}$, cioè la soluzione del problema di Cauchy su ${\mathcal {N}}$ con dato iniziale $N_{0}$.

Allora si ha che $\Phi ^{-1}\circ \gamma$ è soluzione del PC su ${\mathcal {M}}$ con dato iniziale $M_{0}=\Phi ^{-1}(N_{0})$ del campo vettoriale $\Phi ^{*}X$. Quindi se ora consideriamo il flusso $\Psi _{t}^{X}$ indotto dal campo vettoriale $X$ su ${\mathcal {N}}$, il rispettivo flusso del campo vettoriale $T\Phi ^{-1}X$ su ${\mathcal {M}}$ risulta essere $\Phi ^{-1}\circ \Psi _{t}^{X}\circ \Phi$.

Espressione sulle basi del pull-back

Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà, giustamente, perché i tensori, e il calcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti.

In questa sezione mostreremo invece quale sarà l'espressione del pull-back sulle basi; siano $e_{1},\dots ,e_{n}\in {\mathcal {V}}\quad \eta ^{1},\dots ,\eta ^{n}\in {\mathcal {V}}^{*}$ una base su ${\mathcal {V}}$ e la rispettiva base duale su ${\mathcal {V}}^{*}$, $f_{1},\dots ,f_{n}\in {\mathcal {W}}\quad \varphi ^{1},\dots ,\varphi ^{n}$ una base su ${\mathcal {W}}$ e la duale su ${\mathcal {W}}^{*}$. Quindi l'operatore ${\mathcal {L}}:{\mathcal {V}}\to {\mathcal {W}}$ rispetto a queste basi avrà questa rappresentazione

${\mathcal {L}}e_{i}={\mathcal {L}}_{i}^{j}f_{j}$

con j indice di riga e i di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein(per tutta la sezione se ne farà uso). Di conseguenza ${\mathcal {L}}^{*}$ si rappresenta

${\mathcal {L}}^{*}\varphi ^{i}={\mathcal {L}}_{j}^{i}\eta ^{j}$

in pratica risulta essere la trasposta. Quindi la componente $({\mathcal {L}}^{*}T)_{j_{1}\cdots j_{q}}^{i_{1}\cdots i_{p}}$ su tale base risulta

${\mathcal {L}}^{*}T(\eta ^{i_{1}},\dots ,\eta ^{i_{q}},e_{j_{1}},\dots ,e_{j_{p}},)=T({\mathcal {L}}_{\quad r_{1}}^{-1\ i_{1}}\varphi ^{r_{1}},\dots ,{\mathcal {L}}_{\quad r_{p}}^{-1\ i_{p}}\varphi ^{r_{p}},{\mathcal {L}}_{j_{1}}^{s_{1}}f_{s_{1}},\dots ,{\mathcal {L}}_{j_{q}}^{s_{q}}f_{s_{q}})={\mathcal {L}}_{\quad r_{1}}^{-1\ i_{1}}\cdots {\mathcal {L}}_{\quad r_{p}}^{-1\ i_{p}}\ T_{s_{1}\cdots s_{q}}^{r_{1}\cdots r_{p}}\ {\mathcal {L}}_{j_{1}}^{s_{1}}\cdots {\mathcal {L}}_{j_{q}}^{s_{q}}$

dove $T_{s_{1}\cdots s_{q}}^{r_{1}\cdots r_{p}}=T(\varphi ^{i_{1}},\dots ,\varphi ^{i_{p}},f_{j_{1}},\dots ,f_{j_{q}})$.

Notiamo che al posto di considerare un altro spazio vettoriale ${\mathcal {W}}$ avessimo considerato sempre ${\mathcal {V}}$, allora ${\mathcal {L}}$ risulterebbe l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensore durante il cambio di base.

Composizione del pull-back

Sia data una terza varietà $Q$ e un diffeomorfismo $\Psi :{\mathcal {N}}\to {\mathcal {Q}}$ allora il pull-back di un campo tensoriale $T\in \mathbf {T} _{q}^{p}Q$ su ${\mathcal {M}}$ risulta essere il pull-back della composizione di funzioni $\Phi \circ \Psi$ che è un diffeomorfismo tra ${\mathcal {M,Q}}$ e dato che l'applicazione tangente $T(\Phi \circ \Psi )=T\Phi \circ T\Psi$, si ha la seguente relazione:

$(\Phi \circ \Psi )^{*}T=\Phi ^{*}\Psi ^{*}T$

Da questa relazione dato che il pull-back della funzione identità è l'identità si ha:

$\Phi ^{-1*}=\Phi ^{*-1}$

Pull-back commuta con la derivata esterna

Date due varietà ${\mathcal {M,N}}$, una funzione liscia $\Phi :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {N}}$, una q-forma $\theta$ su ${\mathcal {M}}$, si ha la seguente uguaglianza:

$\Phi ^{*}\mathbf {d} \theta =\mathbf {d} \Phi ^{*}\theta$

dove $\mathbf {d}$ indica la derivata esterna.

Notiamo innanzitutto che è un'uguaglianza tra q+1-forme su ${\mathcal {M}}$, difatti questa relazione è verificata se mostriamo l'uguaglianza tra:

$\Phi ^{*}df=d\Phi ^{*}f$

$f$ è una funzione scalare liscia su ${\mathcal {N}}$ (quindi può essere vista come una 0-forma su ${\mathcal {N}}$).

Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:

$\Phi ^{*}df=df\circ T\Phi =d(f\circ \Phi )$.

Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una q-forma $\Omega =\omega _{i_{1}\dots i_{q}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{q}}$ è:

$d\Omega ={\frac {\partial \omega _{i_{1}\dots i_{q}}}{\partial x^{j}}}dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{q}}$

con $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{q}\ ,\quad \omega :{\mathcal {N}}\to \mathbb {R}$ liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).

Si ha la tesi.

Pull-back e derivata di Lie

Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore $T$ lungo un campo vettoriale $X$, vi è la seguente relazione:

${\mathcal {L}}_{\Phi ^{*}X}\Phi ^{*}T=\Phi ^{*}{\mathcal {L}}_{X}T$

La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che $\Phi ^{*-1}$ non dipende dal tempo; da cui:

${\mathcal {L}}_{\Phi ^{*}X}\Phi ^{*}T={\frac {d}{dt}}\Phi ^{*}\Psi _{t}^{X*}\Phi ^{-1*}\Phi ^{*}T=\Phi ^{*}{\frac {d}{dt}}\Psi _{t}^{X*}T=\Phi ^{*}{\mathcal {L}}_{X}T$

Bibliografia

• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 2.2.
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. See Chapter 0.
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
• Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993. Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
• Lang, S., Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94338-1. For generalizations to infinite dimensions.
• Lang, S., Fundamentals of Differential Geometry, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98593-0. For generalizations to infinite dimensions.

Voci correlate

• Derivata di Lie
• Derivata esterna