In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali
ed un operatore lineare
, ad ogni tensore
associa un tensore dello stesso tipo su
. Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di
si considerino due varietà lisce
qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare
un'applicazione liscia
e al tensore
un campo tensoriale liscio su
.
Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione
) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).
Esiste un operatore "duale" del pull-back che prende il nome di push-forward, che inverte il pull-back.
Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.
Siano
due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa,
e
. Il pull-back di
tramite
che si denoterà
risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:
.
Ora consideriamo due spazi vettoriali
con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali
; sia
e
allora il pull-back di
tramite
definito come
cioè
e tale che per ogni
sia così definito

l'operatore
prende anche il nome di aggiunto.
Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo
, cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo
su
.
Proseguiremo lo studio nel caso di tensori e campi tensoriali covarianti cioè di tipo
.
Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo
ed anche in questo caso gli spazi vettoriali
potranno non avere la stessa dimensione e quindi
non essere invertibile.
Consideriamo
allora possiamo definire
in questo modo; dati
si ha
.
L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se noi consideriamo l'applicazione multilineare così definita


. Per la proprietà di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare

tale che

Ora ricordando che ogni
, data una base
di
, ammette un'unica scrittura del tipo
, dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.
Se ora consideriamo due varietà lisce
con dimensione rispettivamente m e n, un'applicazione
liscia e un campo tensoriale
liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trascinare" un campo tensoriale dello stesso tipo su
.
Osserviamo che ogni applicazione
liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata
, tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di
, in un punto
, fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di
nel punto immagine
. Ovviamente questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione
.
Ora grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti

è così definito

dove
è un punto sulla varietà
e
.
Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.
In questo caso avremo due spazi vettoriali
con dimensione uguale, un isomorfismo
, e un tensore
; il pull-back, dati
, per definizione è
.
indica l'iverso dell'aggiunto che esiste perché
infatti

.
Quindi la definizione è ben posta e notiamo che nel caso di tensori (0,q) la definizione coincide con quella precedente.
Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta
dovranno avere la stessa dimensione e la funzione
dovrà essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su
, il suo pull-back risulta essere

dove
indica sempre l'applicazione tangente e
.
Consideriamo il pull-back di un campo vettoriale
; da quanto detto risulta:

Sia ora
tale che
e
, cioè la soluzione del problema di Cauchy su
con dato iniziale
.
Allora si ha che
è soluzione del PC su
con dato iniziale
del campo vettoriale
.
Quindi se ora consideriamo il flusso
indotto dal campo vettoriale
su
, il rispettivo flusso del campo vettoriale
su
risulta essere
.
Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà, giustamente, perché i tensori, e il calcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti.
In questa sezione mostreremo invece quale sarà l'espressione del pull-back sulle basi; siano
una base su
e la rispettiva base duale su
,
una base su
e la duale su
.
Quindi l'operatore
rispetto a queste basi avrà questa rappresentazione

con j indice di riga e i di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein(per tutta la sezione se ne farà uso).
Di conseguenza
si rappresenta

in pratica risulta essere la trasposta.
Quindi la componente
su tale base risulta

dove
.
Notiamo che al posto di considerare un altro spazio vettoriale
avessimo considerato sempre
, allora
risulterebbe l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensore
durante il cambio di base.
Sia data una terza varietà
e un diffeomorfismo
allora il pull-back di un campo tensoriale
su
risulta essere il pull-back della composizione di funzioni
che è un diffeomorfismo tra
e dato che l'applicazione tangente
, si ha la seguente relazione:

Da questa relazione dato che il pull-back della funzione identità è l'identità si ha:

Date due varietà
, una funzione liscia
, una q-forma
su
, si ha la seguente uguaglianza:

dove
indica la derivata esterna.
Notiamo innanzitutto che è un'uguaglianza tra q+1-forme su
, difatti questa relazione è verificata se mostriamo l'uguaglianza tra:

è una funzione scalare liscia su
(quindi può essere vista come una 0-forma su
).
Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:
.
Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una q-forma
è:

con
liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).
Si ha la tesi.
Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore
lungo un campo vettoriale
, vi è la seguente relazione:

La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che
non dipende dal tempo; da cui:

- Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 2.2.
- David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. See Chapter 0.
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
- Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993. Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
- Lang, S., Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94338-1. For generalizations to infinite dimensions.
- Lang, S., Fundamentals of Differential Geometry, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98593-0. For generalizations to infinite dimensions.