Derivata esterna

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In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La derivata esterna di una forma differenziale di grado è una forma differenziale di grado .

Derivata esterna di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione liscia (cioè una 0-forma). La derivata esterna di è il differenziale di , ovvero l'unica uno-forma tale per che ogni campo vettoriale si abbia , dove è la derivata direzionale di in direzione .[1]

Derivata esterna di una k-forma[modifica | modifica wikitesto]

La derivata esterna è definita come l'unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:

  • è il differenziale di per funzione liscia.
  • per ogni funzione liscia .
  • , con una p-forma.

La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché per ogni k-forma , mentre la terza implica, come caso particolare, che se è una funzione e una k-forma allora poiché le funzioni sono forme di grado zero.

Derivata esterna in coordinate locali[modifica | modifica wikitesto]

In un sistema di coordinate locale si considerino i differenziali , che costituiscono un insieme di uno-forme. Dato un insieme di indici , con e , la derivata esterna di una k-forma:

su è definita nel modo seguente:[1]

Per una generica k-forma:

con , la definizione è estesa per linearità.

La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:

allora si ha:

dove è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.

Formula invariante[modifica | modifica wikitesto]

Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci :

dove sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l'omissione di un dato elemento:

In particolare, per 1-forme si ha:

dove e sono campi vettoriali.

La derivata esterna nel calcolo vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.

Gradiente[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Gradiente.

Una funzione liscia è una 0-forma. La sua derivata esterna è la 1-forma:

In altre parole, la forma agisce su ogni campo vettoriale restituendo in ogni punto il prodotto scalare di con il gradiente . La 1-forma è una sezione del fibrato cotangente che produce un'approssimazione lineare locale di nello spazio cotangente ad ogni punto.

Divergenza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Divergenza.

Un campo vettoriale su possiede una corrispondente (n-1)-forma:

dove denota l'omissione di tale elemento. L'integrale di su un'ipersuperficie è il flusso di attraverso tale ipersuperficie.

La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:

Rotore[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Rotore (matematica).

Un campo vettoriale su possiede una corrispondente 1-forma:

Localmente, è il prodotto interno con , e l'integrale di lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro" lungo il cammino. Se n=3, la derivata esterna di è la 2-forma:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Todd Rowland, MathWorld - Exterior Derivative, mathworld.wolfram.com, 2012.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York, Dover Publications, 1989, p. 20, ISBN 0-486-66169-5.
  • Ramanan, S., Global calculus, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2005, p. 54, ISBN 0-8218-3702-8.
  • Conlon, Lawrence, Differentiable manifolds, Basel, Switzerland, Birkhäuser, 2001, p. 239, ISBN 0-8176-4134-3.
  • Darling, R. W. R., Differential forms and connections, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1994, p. 35, ISBN 0-521-46800-0.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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