Pfaffiano

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In matematica, e più specificamente in algebra lineare, il determinante di una matrice antisimmetrica può sempre essere scritto come il quadrato di un polinomio costruito a partire dagli elementi della matrice. Questo polinomio è chiamato lo Pfaffiano della matrice.

Lo Pfaffiano è nullo per le matrici antisimmetriche di ordine dispari, mentre per le matrici di ordine pari, cioè del tipo , è un polinomio di grado .

Il termine Pfaffiano è stato introdotto da Arthur Cayley, che lo usò nel 1852:The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term "Pfaffians". Il termine onora dunque la memoria del matematico tedesco Johann Friedrich Pfaff.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia l'insieme delle partizioni in coppie non ordinate di . Queste sono (usando la notazione del semifattoriale) esattamente . Una partizione può essere scritta come:

con e . Associando ad la permutazione:

sia il suo segno. Sia inoltre una matrice antisimmetrica . Data una partizione , si definisce il valore:

Si può definire lo Pfaffiano di come:

Lo Pfaffiano di una matrice antisimmetrica , con dispari, è per definizione nullo.

Definizione ricorsiva[modifica | modifica wikitesto]

Per convenzione lo Pfaffiano della matrice è . Lo Pfaffiano di una matrice antisimmetrica con può essere calcolato ricorsivamente come

dove indica la matrice a cui sono state rimosse le righe e le colonne ed .

Definizione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

È possibile associare ad ogni matrice antisimmetrica di dimensione un bivettore:

dove è la base usuale di . Lo Pfaffiano è quindi definito come l'equazione:

dove rappresenta il prodotto vettoriale di con sé stesso n volte.

Identità[modifica | modifica wikitesto]

Per una matrice antisimmetrica di dimensione ed una generica matrice anch'essa di dimensione , si ha:

Per una matrice diagonale a blocchi del tipo:

Si ha:

Per una matrice arbitraria denotata con :

Se dipende da qualche variabile allora il gradiente dello Pfaffiano è dato da:

mentre l'hessiana di uno Pfaffiano è data da:

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Lo Pfaffiano è un polinomio invariante per congruenza delle matrici antisimmetriche (se rappresenta una applicazione lineare, non è invariante rispetto ad un generale cambio di base ma lo è per una trasformazione ortogonale). Come tale, svolge un ruolo importante nella teoria delle classi caratteristiche. In particolare, può essere usato per definire la classe di Eulero di una superficie di Riemann, usata nel Teorema generalizzato di Gauss-Bonet

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, revised, 1997, p. 182, ISBN 0-14-026149-4.
  • (EN) Thomas Muir, A Treatise on the Theory of Determinants, Macmillan and Co., 1882. Online

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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