Estrazione di una base

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In matematica, in particolare in algebra lineare, l'estrazione di una base è un algoritmo che permette di estrarre una base di uno spazio vettoriale a partire da un insieme finito di generatori dello spazio.

Il teorema di estrazione di una base[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale di dimensione su un campo . Il teorema di estrazione di una base asserisce che se sono vettori che generano , allora:[1]

  • Il numero è maggiore o uguale a .
  • Esistono vettori che formano una base di .

Dimostrazione e algoritmo[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori . L'algoritmo funziona nel modo seguente: per ogni , si controlla se il vettore -esimo è dipendente dai precedenti. Questo accade se e solo se:

Se un vettore è linearmente dipendente dagli altri si elimina dalla lista, altrimenti, si tiene. Per , non ci sono vettori precedenti e si considera quindi lo span come l'insieme formato dal solo vettore nullo: quindi il primo vettore viene tenuto solo se diverso da zero. Il risultato finale è quindi un insieme di vettori indipendenti che continuano a generare , ossia, per definizione, una base di .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si estrae una base di dall'insieme :

Il primo vettore non è nullo e quindi viene tenuto. Il secondo non è multiplo del primo, e quindi viene tenuto. Il terzo è però combinazione dei primi due, infatti:

Quindi il terzo vettore è eliminato. Il quarto risulta indipendente dagli altri. Si ottiene quindi la base:

Controesempio[modifica | modifica wikitesto]

Se al posto di spazi vettoriali si considerano moduli liberi allora il risultato non è più vero. Si prenda ad esempio lo -modulo libero . Allora si può verificare che generano tutto ma né , né sono basi sebbene linearmente indipendenti e di cardinalità uguale al rango dello -modulo (ossia 2). Si osservi che un controesempio ancora più semplice si può trovare per lo -modulo libero scegliendo ad esempio come sistema di generatori, da cui chiaramente non si riesce ad estrarre una base.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 45.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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