Completamento a base

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In matematica, in particolare in algebra lineare, il completamento a base è un algoritmo utile a completare un insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale ad una base dello spazio.

Il teorema di completamento a base[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale su un campo , di dimensione . Il teorema di completamento a base, anche detto teorema della base incompleta, asserisce che se sono vettori linearmente indipendenti in si ha:

  • Il numero è minore o uguale a .[1]
  • Se allora esistono vettori tali che l'insieme ordinato è base[2] di .

Dimostrazione e algoritmo[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori . Sia un sottoinsieme di composto da vettori linearmente indipendenti. Si aggiunga al sottoinsieme una base nota dello spazio . Si ottiene quindi l'insieme ordinato:

L'insieme genera tutto lo spazio , ed è allora possibile applicare l'algoritmo di estrazione di una base. Questo algoritmo elimina, partendo da sinistra, quei vettori che sono dipendenti dai vettori precedenti. Poiché i primi sono indipendenti, l'algoritmo eliminerà soltanto alcuni dei vettori , ottenendo una base contenente .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

I vettori e in sono indipendenti. Quindi esiste un terzo vettore che forma una base con questi due, e può essere trovato usando l'algoritmo di completamento. Si aggiunge quindi ai due vettori la base canonica:

L'algoritmo di estrazione mantiene i primi due vettori, quindi elimina il terzo e il quarto (entrambi generati dai primi due: A - B = C, -1 (A) + 2 B = D), e tiene di conseguenza il quinto. Si ottiene quindi la base:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 50
  2. ^ S. Lang, Pag. 51

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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