Spazio di Fréchet

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In matematica, uno spazio di Fréchet è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso che è completo rispetto a una metrica invariante sotto traslazione. Sono diversi gli esempi di spazi di funzioni che sono spazi di Fréchet, tra i più rilevanti gli spazi di Banach, che sono completi rispetto alla metrica indotta dalla norma.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Gli spazi di Fréchet possono essere definiti in due modi equivalenti: il primo utilizza una metrica invariante sotto traslazione, il secondo una famiglia numerabile di seminorme.

Uno spazio vettoriale topologico è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

  • È localmente convesso
  • La sua topologia può essere indotta da una metrica invariante sotto traslazione, ovvero una distanza tale per cui per tutti gli . Questo significa che è aperto se e solo se per ogni esiste tale che .
  • È uno spazio metrico completo.

Si nota che non vi è una nozione naturale di distanza tra due punti di uno spazio di Fréchet: differenti metriche invarianti sotto traslazione possono infatti indurre la medesima topologia.

In modo equivalente, uno spazio vettoriale topologico è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

  • È uno spazio di Hausdorff
  • La sua topologia può essere indotta da una famiglia numerabile di seminorme , con . Questo significa che è aperto se e solo se per ogni esistono e tali per cui .
  • È completo rispetto alla famiglia di seminorme.

Una successione converge a nello spazio di Fréchet definito da una famiglia di seminorme se e solo se converge a rispetto ad ognuna delle seminorme.

Costruzione di spazi di Fréchet[modifica | modifica wikitesto]

La seminorma è una funzione definita da uno spazio vettoriale che mappa in e che soddisfa le tre seguenti proprietà:

per tutti i vettori e in , e per ogni scalare .

Se allora , e infatti è di fatto una norma. A differenza delle norme, però, le seminorme consentono di costruire spazi di Fréchet partendo da uno spazio vettoriale , sul quale si definisce una famiglia numerabile di seminorme con le seguenti proprietà:

  • Se e per , allora .
  • Se è una successione in che è una successione di Cauchy rispetto ad ogni seminorma , allora esiste tale che converge a rispetto ad ogni seminorma .

La topologia indotta dalla famiglia numerabile di seminorme rende uno spazio di Fréchet: la prima proprietà assicura che sia uno spazio di Hausdorff mentre la seconda che sia completo.

La medesima topologia può essere generata utilizzando una metrica completa invariante sotto traslazione definita da:

Si nota che la funzione mappa in in modo monotono, e dunque la precedente definizione assicura che la distanza è "piccola" se e solo se esiste abbastanza "grande" da fare in modo che sia "piccola" per .

Differenziazione in spazi di Fréchet[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono spazi di Fréchet, allora lo spazio degli operatori lineari continui da in non è uno spazio Fréchet. Questa è la maggiore distinzione tra la teoria degli spazi di Banach e quella degli spazi di Fréchet, che necessitano di una differente definizione di differenziazione con continuità: la derivata di Gâteaux.

Siano e spazi di Fréchet, un aperto di , una funzione, e . Si dice che è una funzione differenziabile in nella direzione se esiste il limite:

Si dice che è differenziabile con continuità in se è una funzione continua. Se è differenziabile con continuità allora l'equazione differenziale:

non ha necessariamente soluzioni, e se esistono possono non essere uniche. Questo è in forte contrasto con la situazione negli spazi di Banach.

Il teorema della funzione inversa non è valido in spazi di Fréchet: un suo parziale sostituto è il teorema di Nash-Moser.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, 2ª ed., New York, McGraw-Hill inc., 1991, ISBN 0070542368.
  • (EN) Bourbaki, Topological vector spaces, Springer (1987) (Translated from French)
  • (EN) J.L. Kelley, I. Namioka, Linear topological spaces, Springer (1963)
  • (EN) G. Köthe, Topological vector spaces, 1, Springer (1969)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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