Geometria differenziale delle curve

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In matematica, la geometria differenziale delle curve usa il calcolo infinitesimale per studiare le curve nel piano, nello spazio, e più generalmente in uno spazio euclideo.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Definizioni di base[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: curva (matematica).

Una curva è una funzione continua , dove è un intervallo dei numeri reali, come ad esempio . La variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera e per la funzione si usa spesso la notazione . In questa voce, supporremmo che sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo .

Per supporto di si intende la immagine di tale funzione. Se è iniettiva, la curva si dice semplice.

Lunghezza e parametrizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Curva nello spazio.

Una riparametrizzazione di è un'altra curva tale che:

dove è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con . In questo caso le curve e , benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.

La lunghezza di una curva definita su un intervallo chiuso è fornita da:

La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma e pensiamo che la variabile esprima il tempo per un corpo puntiforme che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a ; abbiamo quindi un modello cinematico della curva. Si può quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante è:

La funzione sempre crescente stabilisce una biiezione tra gli intervalli e e porta a una riparametrizzazione della curva. Scrivendo:

si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante uguale a :

Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale a . Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

Sistema di Frenet[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento mobile di vettori ortonormali dipendenti da , utili per descrivere il comportamento locale della curva in .

Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia regolare, cioè che le derivate siano linearmente indipendenti, e quindi formino una base. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

Le curvature generalizzate sono definite come:

Il sistema di Frenet e le curvature generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

In due dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Il cerchio osculatore

Nel piano, il primo vettore di Frenet è la tangente alla curva al valore del parametro, mentre il vettore , detto vettore normale è il vettore normale a , nella direzione in cui curva. La curvatura:

indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco:

è chiamato raggio di curvatura. Ad esempio, una circonferenza di raggio ha curvatura costante , mentre una linea retta ha curvatura nulla.

Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a e di raggio . Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di nel punto.

In tre dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema di Frenet in tre dimensioni e il relativo piano osculatore evidenziato

Nello spazio tridimensionale i vettori di Frenet e le curvature hanno dei nomi specifici.

Vettore tangente[modifica | modifica wikitesto]

Il primo vettore di Frenet è il vettore tangente, definito quindi come:

Se è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a

Versore normale[modifica | modifica wikitesto]

Il versore normale misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come:

I vettori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto .

Curvatura[modifica | modifica wikitesto]

La prima curvatura generalizzata è chiamata semplicemente curvatura di in , ed è data da

Il reciproco della curvatura

è il raggio di curvatura nel punto .

Vettore binormale[modifica | modifica wikitesto]

Il vettore binormale è il terzo vettore di Frenet : è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come:

Torsione[modifica | modifica wikitesto]

La seconda curvatura generalizzata è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

Formule di Frenet-Serret[modifica | modifica wikitesto]

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate .

2 dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

3 dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

n dimensioni (formula generale)[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà delle curvature[modifica | modifica wikitesto]

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date funzioni:

sufficientemente differenziabili, con:

esiste un'unica curva avente quelle curvature, a meno di traslazioni e altre isometrie dello spazio euclideo.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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