Sistema dinamico

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In fisica e matematica, in particolare nella teoria dei sistemi dinamici, un sistema dinamico è un modello matematico per descrivere l'evoluzione nel tempo di un punto o sistema nello spazio delle fasi che è mosso da opportune leggi. Il concetto di "stato del sistema" può essere definito, in tale contesto, come l'insieme dei valori delle grandezze fisiche che caratterizzano il sistema considerato, ovvero che ne definiscono la sua condizione o situazione in un qualsiasi istante temporale. Ad esempio, in meccanica classica lo stato di un corpo rigido è definito dal set di coordinate generalizzate e dalle rispettive derivate, da cui è possibile trovare le accelerazioni e dunque analizzare la dinamica del sistema.

Lo studio dei sistemi dinamici rappresenta uno dei più antichi e importanti settori della matematica e della fisica; coinvolge il problema generale della dinamica nella meccanica classica, i sistemi elettrici, termodinamici e l'ingegneria dei sistemi (in particolare l'automatica). Inoltre, già Henri Poincaré aveva osservato alla fine del diciannovesimo secolo il comportamento irregolare di alcuni sistemi dinamici studiando il problema dei tre corpi: negli anni '50 del secolo successivo, in seguito agli esperimenti numerici del meteorologo Edward Lorenz, che studiando l'atmosfera terrestre rivelò la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, i risultati di Poincaré cominciarono ad interessare la comunità dei fisici. Questi fenomeni sono studiati dalla teoria del caos: il comportamento caotico dei sistemi dinamici, la cui controparte matematica può raggiungere gradi di complessità che rendono vincolante l'utilizzo del calcolatore, è stato riscontrato in molti altri ambiti tra cui la biologia o la finanza, e ha suscitato un grande interesse nella comunità scientifica nella seconda metà del '900.

Esistono principalmente due tipi di sistema dinamico:

  • Se l'evoluzione avviene ad intervalli discreti di tempo il sistema viene chiamato sistema dinamico discreto
  • Se l'evoluzione è continua e definita da un'equazione differenziale, il sistema viene chiamato sistema dinamico continuo.

L'evoluzione di un sistema può essere dettata da forzanti esterne al sistema che agiscono direttamente sullo stato, nel qual caso il sistema si dirà forzato, oppure da forzanti interne al sistema ovvero da una dinamica interna, e in tal caso il sistema si dirà non forzato o libero.

Di particolare importanza sono i sistemi lineari, tra i quali i tempo-invarianti sono ad esempio molto utilizzati nella teoria dei segnali e nella teoria del controllo.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Analisi dei sistemi dinamici.

Un sistema dinamico continuo è un oggetto che evolve nello spazio secondo una legge temporale ben precisa, e dal punto di vista matematico viene descritto considerando ogni posizione e velocità dei punti o delle parti che lo compongono ad ogni tempo. Viene pertanto ambientato in uno spazio delle fasi (anche detto spazio delle configurazioni), ossia un insieme X i cui elementi rappresentano tutti gli stati possibili (in termini di posizione e velocità) che il sistema può assumere.

L'evoluzione del sistema nello spazio delle fasi a partire da un punto iniziale x_0 è descritta da una funzione \varphi_t(x_0)=x(x_0,t) che dipende dal tempo t e soddisfa un'equazione differenziale ordinaria del tipo:

\dot x(t) = f(x(t)) \qquad x \in \R^n

Da un punto di vista matematico \varphi_t(x_0) è il flusso associato al campo vettoriale f \in C^1 per il punto x_0, il cui grafico è la traiettoria seguita dal sistema (detta orbita) a partire da x_0.

La struttura matematica che viene assegnata allo spazio delle fasi dipende dal contesto, solitamente è uno spazio topologico, in cui ha senso parlare di continuità nell'evoluzione temporale dello stato. Uno spazio topologico in cui è possibile l'utilizzo di strumenti metrici e differenziali è ad esempio la varietà differenziabile, una delle strutture più utilizzate in quanto risulta particolarmente adatta per modellare i sistemi fisici. Per i sistemi nei quali allo stato viene associata in generale solo una nozione di misura, ad esempio una probabilità, si utilizza uno spazio misurabile. Si richiede inoltre che il flusso sia compatibile con la struttura di X: nel caso in cui X sia rispettivamente uno spazio topologico, uno spazio misurabile, una varietà differenziabile o una varietà complessa, le funzioni \varphi_t dovranno essere omeomorfismi, funzioni misurabili, diffeomorfismi o funzioni olomorfe.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema dinamico (T,M,\Phi) è definito da un monoide T (insieme dei valori del parametro t) scritto in notazione additiva, un insieme M (lo spazio delle fasi o spazio degli stati) e una funzione di evoluzione temporale:

\Phi\colon U \subset T \times M \to M

La legge di evoluzione non cambia essa stessa nel tempo, ovvero soddisfa:

\Phi(0,x) = x
\Phi(t_2,\Phi(t_1,x)) = \Phi(t_1 + t_2, x) \qquad  t_1, t_2, t_1 + t_2 \in I(x)

dove:

 I(x) = \{ t \in T : (t,x) \in U \}

La famiglia di funzioni \Phi(t,x_0)\colon I(x_0) \to M è il flusso del sistema per un punto iniziale x_0. Le funzioni \Phi(t,x) parametrizzate da t, con la legge di composizione \Phi(t_1,x) \circ \Phi (t_2,x) = \Phi(t_2,\Phi(t_1,x)), formano un gruppo commutativo ad un parametro di trasformazioni, che nel caso discreto (cioè quando il tempo è una variabile discreta) è isomorfo a \Z, mentre nel caso continuo (quando il tempo è una variabile continua) è isomorfo a \R ed è anche detto flusso di fase.

Il flusso induce in questo modo un'azione di gruppo che caratterizza completamente l'evoluzione del sistema dinamico nello spazio delle fasi, in cui il grafico di \Phi è la traiettoria del sistema nel tempo. Nello specifico, l'insieme:

\gamma_x:=\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\}

è l'orbita passante per x (ovvero l'immagine del flusso in x).

Un sottoinsieme S \subset M è detto \Phi-invariante se:

\Phi(t,x) \in S \qquad \forall x \in S \quad \forall t \in T

In particolare, affinché S sia invariante si deve verificare I(x)=T per tutti gli x \in S, ovvero il flusso lungo x deve essere definito per tutti i punti di S ad ogni tempo.

Sistemi continui[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sottoinsieme dello spazio euclideo oppure una varietà S, sia v un campo vettoriale differenziabile, cioè che associa ad ogni punto z \in S un vettore tangente le cui coordinate sono legate alle coordinate di z (definite in un suo intorno rispetto a qualche base) tramite una funzione differenziabile. Un sistema dinamico differenziabile è definito dall'equazione del moto:

f(dz,dt) = v(z)

Trattandosi di un'equazione differenziale ordinaria, il relativo teorema di esistenza e unicità della soluzione stabilisce che preso un punto iniziale z_0 esiste un intervallo -a \le t \le b, con a,b > 0, in cui il sistema dinamico differenziabile (più in generale lipschitziano) ha una soluzione unica z(t)=\phi_t(z) che dipende da t e z in modo differenziabile.

Se tale soluzione esiste per tutti i tempi e per qualsiasi scelta del punto iniziale z_0, essa si dice "completa" e si parla di sistema dinamico completo. Il teorema di esistenza e unicità implica in particolare che per un sistema dinamico differenziabile completo:

  • Il tempo può scorrere nel verso contrario, ovvero è possibile predire il passato conoscendo uno stato del sistema nel futuro. In particolare, si ha che \phi^{-1}_t =\phi_{-t} e \phi_t ha la struttura algebrica di un gruppo.
  • Le traiettorie (orbite) compiute dal sistema non si intersecano vicendevolmente.
  • Lo spazio delle configurazioni del sistema è l'unione delle possibili traiettorie.

Sistemi discreti[modifica | modifica wikitesto]

I sistemi dinamici discreti sono definiti da un'iterazione del tipo:

X_{n+1} = f(X_n) \qquad n \ge 0

di una funzione f : S \to S, con S \subset \R^n. Può essere vista come un'equazione alle differenze:

X_{n+1} - X_n = f(X_n) - X_n \qquad n \ge 0

che definendo F(X_n)=f(X_n) - X_n assume la stessa forma dell'equazione differenziale ordinaria del caso continuo.

Le orbite di un sistema discreto sono una successione di stati \{ X_n \}_{n=1}^\infty. Il gruppo di trasformazioni è quindi dato dall'insieme:

G=\{Id, f, f^2, f^3, \dots f^n, \dots \}

dove l'espressione f^k indica la composizione di funzioni f \circ \dots \circ f di f con sé stessa iterata k volte.

Linearità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare.

Nei sistemi dinamici lineari il legame tra variabili di stato (o variabili di ingresso, dal momento quello lineare che è un modello particolarmente utilizzato nella teoria dei segnali) con la dinamica (o l'uscita) è lineare, ovvero il sistema ha la forma:

\frac{dX}{dt}=A X

con A una matrice a coefficienti costanti.

Sistemi lineari e stazionari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare stazionario e Sistema dinamico lineare stazionario discreto.

Un sistema dinamico lineare e stazionario è anche detto lineare tempo-invariante, abbreviato spesso con la sigla LTI (dall'inglese Linear Time-Invariant). Nel caso di un sistema continuo, è caratterizzato dal fatto che l'uscita y(t) per un segnale in ingresso x(t) è descritta dalla convoluzione:

y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\cdot h(t-\tau) \,\operatorname{d}\tau

dove h(t) è la risposta del sistema quando l'ingresso x(t) è una funzione a delta di Dirac. Se la funzione h(\tau) è nulla quando \tau < 0 allora y(t) dipende soltanto dai valori assunti da x precedentemente al tempo t, ed il sistema è detto causale.

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso \{x\} in un'altra successione \{y\}, data dalla convoluzione discreta con la risposta h alla delta di Kronecker:

y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k]\cdot h[k]

Gli elementi di \{y\} possono dipendere da ogni elemento di \{x\}. Solitamente y[n] dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo n.

Stabilità di un sistema dinamico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Stabilità interna.

Dato un sistema dinamico definito da un campo vettoriale su una varietà M, se p è un punto fisso del flusso \Phi del sistema, cioè \Phi(p)=p, esso è una soluzione stazionaria (invariante nel tempo) dell'equazione differenziale che definisce il sistema (continuo), e l'insieme:

V_p=\{ x \in M : \lim_{x \to -\infty} \Phi (x)=p \}

è detto varietà stabile del sistema. Analogamente si definisce la varietà instabile nel caso di limite per t \to -\infty.

Teoria delle biforcazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria delle biforcazioni.

Un punto fisso (in generale un punto periodico) è un punto nello spazio delle fasi (cioè uno stato) che rimane invariato durante l'evoluzione del sistema. Un insieme invariante è un insieme di stati che viene mandato in sé stesso dall'evoluzione del sistema, eventualmente spostando i singoli stati all'interno dell'insieme, e un attrattore è un insieme invariante a cui tutte le orbite tendono ad avvicinarsi per tempi che tendono all'infinito.

Sistemi ergodici[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria ergodica.

Caos[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria del caos.

Rappresentazione grafica[modifica | modifica wikitesto]

Nell'ingegneria dei sistemi un sistema può essere modellizzato graficamente tramite una scomposizione in un insieme di sottosistemi collegati tra loro in vario modo (serie, parallelo, retroazione ecc...), ciascuno dei quali è identificato da uno scatolotto il cui funzionamento o comportamento è descritto da una funzione di sottoprocesso che esso svolge all'interno del sistema generale. Lo schema risultante si darà schema a blocchi del sistema (si veda Modello black box).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Esempi di sistemi dinamici continui sono:

Esempi di sistemi dinamici discreti sono:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]