Insieme sfocato

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Un insieme sfocato o insieme sfumato (in inglese fuzzy set) è un insieme che rientra in un'estensione della teoria classica degli insiemi. Il concetto è stato introdotto da Lotfi A. Zadeh, nel 1965, come estensione della classica definizione di insieme.

Un insieme sfocato è caratterizzato da una funzione di grado di appartenenza, che mappa gli elementi di un universo in un intervallo reale continuo

Il valore 0 (zero) indica che l'elemento non è per niente incluso nell'insieme sfocato, il valore 1 (uno) indica che l'elemento è certamente incluso nell'insieme (questi due valori corrispondono alla teoria classica degli insiemi), mentre i valori tra zero e uno indicano il grado di appartenenza dell'elemento all'insieme sfocato in questione.

Dato un universo e una funzione del grado di appartenenza si definisce la sfocatura di rispetto ad , e si indica , il grafico di :

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme fuzzy è l'insieme di coppie ordinate con:

, detto universo, un insieme classico della teoria degli insiemi
, una funzione d'appartenenza del tipo

Prendiamo come insieme e come funzione d'appartenenza . Si prenda , la sfocatura di risulta essere:

L'unico vincolo circa le funzioni d'appartenenza è quello sul codominio d'arrivo, ma, in maniera meno generale, ma più pragmatica, si può dire che solitamente si tratta di: funzioni monotone, triangolari, trapezoidali e gaussiane. È ovviamente possibile eseguire tra insiemi fuzzy anche le classiche operazioni insiemistiche quali unione, intersezione e complemento. Si noti che non è possibile parlare di un insieme sfocato prescindendo dalla sua funzione di sfocatura e che questa, almeno di principio, è puramente arbitraria.

Proprietà degli insiemi sfocati[modifica | modifica wikitesto]

Gli insiemi fuzzy non godono di relazioni di univocità e biunivocità fra gli elementi di insiemi diversi. Pertanto, gli insiemi fuzzy sono un'estensione, ma non una generalizzazione degli insiemi della teoria classica; ossia sono una teoria che allarga ma è inclusa in quella degli insiemi, piuttosto che includerla in una teoria nuova e più vasta.

Un semplice passaggio di notazione da un discreto fra 0 e 1 a un intervallo continuo di appartenenza fra gli stessi due estremi rappresenta un notevole salto concettuale ed è un esempio dell'importanza di disporre di una notazione matematica sintetica e potente.

Sugli insiemi fuzzy valgono gli operatori insiemistici: unione, intersezione e complementare. Valgono inoltre le leggi di De Morgan; non valgono invece il principio del terzo escluso (per cui l'unione di un insieme con il suo complementare ha somma pari a 1) e il principio di non-contraddizione (l'intersezione di un insieme con il suo complementare è un insieme vuoto). Il discorso ovviamente è valido in quanto la complementarità è definita indipendentemente da questi principi fondamentali di logica (e da tutti gli altri, che ne sono una derivazione) come proprietà di un singolo insieme e non di due o più insiemi in relazione tra loro.

Siano e il grado di appartenenza associato alle sfocature . L'operazione di unione su due insiemi fuzzy A e B si esegue applicando ad ogni elemento x di A e y di B una funzione chiamata s-norm; Sia tale per cui valgano le seguenti proprietà . Allora preso insieme universo, siano due sfocature di . Si definisce l'unione di due sfocature come segue:

(notiamo che è ancora una sfocatura di ).

Tipicamente la funzione con .

In un modo analogo è possibile definire l'intersezione tra due sfocature di un insieme definendo una funzione, anche chiamata t-norm, tale per cui . In analogia definiamo l'intersezione come:

(notiamo che è ancora una sfocatura di ).

Tipicamente la funzione con .


Si può definire il complementare di un insieme definendo funzione di appartenenza del complementare. Sia tale per cui valgano , ovviamente , allora . Si definisce il complementare di un insieme come segue:

(notiamo che è ancora una sfocatura di ).

Tipicamente la funzione con .

Utilizzo[modifica | modifica wikitesto]

La validità degli operatori booleani (con cui lavora l'algebra relazionale) consente di interrogare basi di dati fuzzy con il FSQL (Fuzzy SQL), un linguaggio nato nel 1998 come estensione dell'SQL.

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Controllo di autoritàThesaurus BNCF 57852 · LCCN (ENsh85052627 · BNF (FRcb11944583j (data) · J9U (ENHE987007555555505171
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