Differenza simmetrica

In matematica, la differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme che contiene gli elementi presenti solo in uno dei due insiemi. È l'equivalente insiemistico dell'operazione logica nota come XOR.

La differenza simmetrica tra A e B è evidenziata in rosso

La differenza simmetrica tra due insiemi è comunemente denotata $A\,\Delta \,B$.

Esistono due modi equivalenti per definirla:

$A\Delta B=(A-B)\cup (B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$

cioè, rispettivamente, l'unione delle due differenze e la differenza tra l'unione e l'intersezione di A e B.

La differenza simmetrica è commutativa e associativa:

$A\Delta B=B\Delta A$

$(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$

La differenza simmetrica di due differenze simmetriche ripetute è la differenza simmetrica ripetuta della somma dei due multiinsiemi, con la rimozione di ogni insieme che compaia due volte. In particolare:

$(A\Delta B)\Delta (B\Delta C)=A\Delta C$

Questa uguaglianza esprime anche una specie di disuguaglianza triangolare: la differenza simmetrica di A e C è contenuta nell'unione tra le differenze simmetriche di A e B e di B e C.

Se consideriamo l'insieme delle parti di un qualsiasi insieme X con la differenza simmetrica, esso diventa un gruppo abeliano, in quanto

$A\Delta \varnothing =A$

e

$A\Delta A=\varnothing$

cioè l'insieme vuoto è l'elemento neutro e ogni insieme è l'inverso di sé stesso; questo ci dice anche che questa struttura algebrica è addirittura uno spazio vettoriale sopra il campo finito delle classi di resto modulo 2 $Z_{2}$.

Inoltre, la distributività dell'intersezione sulla differenza simmetrica:

$A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C)$

implica che l'insieme delle parti di X diventa un anello, più specificamente il prototipo di anello booleano.

Differenza simmetrica n-aria

La differenza simmetrica si può vedere come un'operazione su un multiinsieme di insiemi: il risultato dell'operazione su una classe di insiemi contiene gli elementi che sono contenuti in un numero dispari di insiemi tra quelli considerati:

$\triangle M=\left\{a\in \bigcup M\ |\ \#\{A\in M|a\in A\}\ =2k+1,\,k\in \mathbb {N} \right\}$

Questa operazione è ben definita solo quando ogni elemento dell'unione $\bigcup M$ è contenuto in un numero finito di elementi di $M$.

Voci correlate

• Insieme complemento
• Algebra di Boole
• Disgiunzione esclusiva

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Collegamenti esterni

• differenza simmetrica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Differenza simmetrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Differenza simmetrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.