Filtrazione (matematica)

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Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In teoria delle probabilità una filtrazione, o base stocastica, su uno spazio è una famiglia crescente di sottotribù di , con . Intuitivamente ogni rappresenta l'informazione disponibile all'istante , ossia tutti gli eventi per i quali si può sapere che si siano verificati oppure no.

Tipi di filtrazione[modifica | modifica wikitesto]

Filtrazione completa[modifica | modifica wikitesto]

Una filtrazione si dice completa se e solo se appartiene ad uno spazio di probabilità completo e per ogni la -algebra contiene tutti gli eventi di di probabilità nulla. Dato che lo spazio di probabilità è completo i sottoinsiemi degli eventi di probabilità nulla sono a loro volta degli eventi contenuti in .

Filtrazione continua a destra[modifica | modifica wikitesto]

Una filtrazione si dice continua a destra se e solo se , con . In base alla definizione si può vedere in modo intuitivo che in una filtrazione continua a destra la -algebra contiene tutti gli eventi dei quali si può sapere la verificabilità o meno agli istanti di tempo successivi.

Filtrazione ipotesi standard[modifica | modifica wikitesto]

Una filtrazione si dice che soddisfa le ipotesi standard se e solo se è completa e continua a destra.

Spazio di probabilità filtrato[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio di probabilità munito di una filtrazione è chiamato spazio di probabilità filtrato, o spazio filtrato e viene denotato con la quadrupla . Nel caso in cui lo spazio di probabilità sia munito di una filtrazione che soddisfa le ipotesi standard viene detto spazio filtrato standard.

Processo stocastico adattato ad una filtrazione[modifica | modifica wikitesto]

Un processo stocastico si dice adattato alla filtrazione se è misurabile rispetto a . Quindi, per ogni appartenente all'insieme dei valori la variabile aleatoria deve essere misurabile rispetto a . In questo caso viene anche detto che è -misurabile, cioè la variabile aleatoria è definita sullo spazio con valori sullo spazio misurabile di arrivo, ossia è un'applicazione tale che . Questo garantisce che per ogni valore di appartenente alla filtrazione , la variabile aleatoria , che prende come argomento , è definita nell'insieme dei valori dato da . Si ottiene, così, la seguente definizione: .

Filtrazione naturale[modifica | modifica wikitesto]

La filtrazione naturale associata ad un processo stocastico è definita come ed è la più piccola filtrazione che rende adattato, in quanto è la più piccola tribù (o -algebra) generata da . La filtrazione naturale contiene la storia del processo fino all'istante .

Processo stocastico prevedibile[modifica | modifica wikitesto]

Ponendo , un processo stocastico si dice prevedibile rispetto alla filtrazione se e solo se per ogni maggiore o uguale di , la variabile aleatoria è misurabile rispetto a .