Regola della somma

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Nell'analisi matematica, la regola della somma è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della somma di una serie di funzioni derivabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della somma (algebrica) di una serie di funzioni derivabili in x è uguale alla somma delle singole derivate.

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostriamo inizialmente il caso di una somma con solo due addendi.

Applicando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:

si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x, che:

Riordinando emerge subito che:

Siccome per la (1):

e quindi

Il caso generale di n addendi si ottiene ora per induzione dal caso particolare appena dimostrato. cvd.

Linearità della derivata[modifica | modifica wikitesto]

Più in generale, si può dire che la derivata è un operatore lineare: la derivata di una funzione derivabile moltiplicata per una costante è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione originaria:

Dunque un enunciato equivalente ai due precedenti è che la derivata "conserva" le combinazioni lineari:

per ogni reali. Infatti ponendo si ottiene la prima formula e per la seconda.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Con il rapporto incrementale:

Con la regola del prodotto:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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