Regola del prodotto
Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata -esima del prodotto di funzioni tutte derivabili:
Enunciato semplice[modifica | modifica wikitesto]
La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni e derivabili in :
Ora sottraiamo e sommiamo la quantità :
Raccogliendo e si ottiene
Siccome le funzioni e sono, per ipotesi, derivabili in , quindi è qui anche continua sia che . Si conclude che:
e quindi:
come volevasi dimostrare.
La scoperta di Leibniz[modifica | modifica wikitesto]
La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui e sono due funzioni di . Allora il differenziale di è
Siccome il termine è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che
Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale , si ottiene
che corrisponde nella notazione di Lagrange a:
Funzioni costanti[modifica | modifica wikitesto]
Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione per una costante :
ma essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi
Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]
Prodotto multiplo[modifica | modifica wikitesto]
La regola può essere generalizzata anche per una collezione di funzioni derivabili, ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:
- La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.
più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni prive di zeri:
Applicazione polinomiale[modifica | modifica wikitesto]
Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che
per intero positivo:[1] in fondo è una produttoria di funzioni uguali tutte uguali a , per cui per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di elementi tutti uguali tra loro:
ora applicando l'ipotesi induttiva del principio di induzione per e ricordando che è uguale a , possiamo riscrivere:
siccome x0 = 1 l'equazione è dimostrata.
Derivate successive[modifica | modifica wikitesto]
Le derivate successive -sime del prodotto di due funzioni sono:
Il primo elemento è il coefficiente binomiale.
Applicazione polinomiale[modifica | modifica wikitesto]
Proviamo a derivare due volte la funzione , usando il fatto che la derivata di è sempre uguale a sé stessa.
come prima, per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:
Note[modifica | modifica wikitesto]
- ^ per non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni
- ^ Il riferimento apicale essendo tra parentesi non indica un esponente ma l'ordine di derivazione secondo la notazione di Lagrange
Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]
Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]
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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Regola del prodotto, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Regola del prodotto, su MathWorld, Wolfram Research.