Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata
-esima del prodotto di
funzioni
tutte derivabili:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d914d5b0e94301307da282eb0a2f6479537eb9a)
La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in
è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:
![{\displaystyle \left[g(x)f(x)\right]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d182cea6eb9656e22842e319dd6a3889d0a03b)
Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni
e
derivabili in
:
![{\displaystyle [f(x)g(x)]'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26934c6b0255af14df1f04b54d2844b9259f8153)
Ora sottraiamo e sommiamo la quantità
:

Raccogliendo
e
si ottiene
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}f(x+h)\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}g(x)\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8ed02821e0806e980f9c53bfe04661dfc9e5a6)
Siccome le funzioni
e
sono, per ipotesi, derivabili in
, quindi è qui anche continua sia
che
. Si conclude che:


e quindi:

come volevasi dimostrare.
La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui
e
sono due funzioni di
. Allora il differenziale di
è

Siccome il termine
è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale
, si ottiene

che corrisponde nella notazione di Lagrange a:

Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione
per una costante
:
ma
essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi
La regola può essere generalizzata anche per una collezione di
funzioni derivabili,
,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:
- La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.

più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni
prive di zeri:

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che
per
intero positivo:[1]
in fondo è una produttoria di
funzioni uguali tutte uguali a
, per cui per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di
elementi tutti uguali tra loro:

ora applicando l'ipotesi induttiva del principio di induzione per
e ricordando che
è uguale a
, possiamo riscrivere:

siccome x0 = 1 l'equazione è dimostrata.
Le derivate successive
-sime del prodotto di due funzioni è:
[2]
Il primo elemento è il coefficiente binomiale.
Proviamo a derivare due volte la funzione
, usando il fatto che la derivata di
è sempre uguale a se stessa.
![{\displaystyle {\begin{aligned}D^{(2)}[x^{3}e^{x}]&={2 \choose 0}6xe^{x}+{2 \choose 1}3x^{2}e^{x}+{2 \choose 2}x^{3}e^{x}\\&=1\cdot 6xe^{x}+2\cdot 3x^{2}e^{x}+1\cdot x^{3}e^{x}\\&=6xe^{x}+6x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be17494f99e23a9f1e0fcad6c7ed84abdcf27e23)
come prima, per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

- ^ per
non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni
- ^ Il riferimento apicale essendo tra parentesi non indica un esponente ma l'ordine di derivazione secondo la notazione di Lagrange