Regola del prodotto

Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata $n$-esima del prodotto di $m$ funzioni $f$ tutte derivabili:

${\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).$

Enunciato semplice

La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in $x$ è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:

$\left[g(x)f(x)\right]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$

Dimostrazione

Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ derivabili in $x$:

$[f(x)g(x)]'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}.$

Ora sottraiamo e sommiamo la quantità $f(x+h)g(x)$:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}$

Raccogliendo $f(x+h)$ e $g(x)$ si ottiene

$\lim _{h\to 0}f(x+h)\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}g(x)\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]$

Siccome le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono, per ipotesi, derivabili in $x$, quindi è qui anche continua sia $\lim _{h\to 0}f(x+h)=f(x)$che $\lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)$. Si conclude che:

$\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x),$

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x),$

e quindi:

$f(x)g'(x)+f'(x)g(x),$

come volevasi dimostrare.

La scoperta di Leibniz

La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni di $x$. Allora il differenziale di $fg$ è

${\begin{aligned}d(fg)&=(f+df)(g+dg)-fg\\&=f(dg)+g(df)+(df)(dg)\end{aligned}}$

Siccome il termine $(df)(dg)$ è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che

$d(fg)=f(dg)+g(df).$

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale $dx$, si ottiene

${\frac {d}{dx}}(fg)=f\left({\frac {dg}{dx}}\right)+g\left({\frac {df}{dx}}\right)$

che corrisponde nella notazione di Lagrange a:

$(fg)'=fg'+f'g.$

Funzioni costanti

Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione $f(x)$ per una costante $k$:

$D\left[kf(x)\right]=k\cdot f'(x)+k'\cdot f(x)$

ma $k'=0$ essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi

$D\left[kf(x)\right]=kf'(x)$

Generalizzazioni

Prodotto multiplo

La regola può essere generalizzata anche per una collezione di $n$ funzioni derivabili, $f_{1},\ldots ,f_{k}$ ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:

La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.

$f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)=f_{1}'(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{\prime }(x)\cdots f_{n}(x)+\cdots +f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}^{\prime }(x),$

più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni ${f_{j}(x)}$ prive di zeri:

${\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {f'_{j}(x)}{f_{j}(x)}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)$

Applicazione polinomiale

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che

${d \over dx}ax^{n}=nax^{n-1}$

per $n$ intero positivo: $x^{n}$ in fondo è una produttoria di $n$ funzioni uguali tutte uguali a $x$, per cui per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di $n$ elementi tutti uguali tra loro:

$=nx^{n-1}\cdot x',$

ora applicando l'ipotesi induttiva del principio di induzione per $x'$ e ricordando che $x$ è uguale a $x^{1}$, possiamo riscrivere:

$=nx^{n-1}\cdot (1\cdot x^{1-1})=nx^{n-1}\cdot x^{0},$

siccome x⁰ = 1 l'equazione è dimostrata.

Derivate successive

Le derivate successive $n$-sime del prodotto di due funzioni è:

${\frac {d^{n}}{{dx}^{n}}}f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)$

Il primo elemento è il coefficiente binomiale.

Applicazione polinomiale

Proviamo a derivare due volte la funzione $x^{3}e^{x}$, usando il fatto che la derivata di $e^{x}$ è sempre uguale a se stessa.

${\begin{aligned}D^{(2)}[x^{3}e^{x}]&={2 \choose 0}6xe^{x}+{2 \choose 1}3x^{2}e^{x}+{2 \choose 2}x^{3}e^{x}\\&=1\cdot 6xe^{x}+2\cdot 3x^{2}e^{x}+1\cdot x^{3}e^{x}\\&=6xe^{x}+6x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}\end{aligned}}$

come prima, per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

${d^{n} \over dx^{n}}x^{a}={\frac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}$

Voci correlate

• Regole di derivazione
• Regola del quoziente
• Regola della somma

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Collegamenti esterni

• (EN) Regola del prodotto, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.