Regola della funzione inversa

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In analisi matematica, la regola della funzione inversa è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione derivabile, quando essa esiste, anche senza conoscerne l'equazione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se definita, la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto. Più precisamente, se è una funzione invertibile, se , se è continua nel punto e se esiste , allora è derivabile in e vale:

dove e sono notazioni che indicano la derivata e indica la parte interna di

Per l'esistenza della funzione inversa è sufficiente che la funzione sia strettamente monotona nel suo dominio. Per la continuità della funzione inversa è sufficiente supporre che la funzione sia strettamente monotona su un intervallo.

La richiesta è necessaria per garantire che l'espressione sia ben definita. Basti pensare, ad esempio, alla funzione La funzione è monotona strettamente crescente, ma la sua inversa non è derivabile in

Anche la richiesta che sia continua nel punto è necessaria. È infatti possibile (ma la costruzione non è semplicissima) costruire un esempio di una funzione invertibile e con derivata in uguale a , la cui inversa nel punto non è continua (e quindi neppure derivabile).

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Poniamo , per semplicità. Allora:

.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia , con . Dunque e .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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