Regola della funzione inversa

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, la regola della funzione inversa è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione derivabile, quando essa esiste, anche senza conoscerne l'equazione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto. Più precisamente, se è una funzione invertibile, se e se esiste , allora è derivabile in e vale:

dove e sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata e indica la parte interna di

Per l'esistenza della funzione inversa è sufficiente che la funzione sia strettamente monotona e continua nel suo dominio. Questo non assicura che il denominatore sia non nullo e quindi che l'espressione sia ben definita. Basti pensare, ad esempio, alla funzione La funzione è monotona strettamente crescente, ma la sua inversa non è derivabile in

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Poniamo , per semplicità. Allora:

.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia , con . Dunque e .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica