e (costante matematica)

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e (Numero di Eulero)
Simbolo e
Valore 2,71828 18284 59045 23536 ...
(sequenza A001113 dell'OEIS)
Origine del nome Eulero
Frazione continua [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]
(sequenza A003417 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti
Costanti correlate Costante di Gelfond, Costante Omega
Euler's formula.svg
La costante e compare nella formula di Eulero, una delle identità matematiche più importanti.

In matematica il simbolo denota una costante molto importante per via delle sue applicazioni in diversi campi.

Poiché corrisponde ad un numero irrazionale (in particolare ad uno trascendente), non è esprimibile come frazione o come numero decimale periodico. La sua espressione con 55 cifre decimali è: 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749.

In ambito internazionale il numero è chiamato numero di Eulero, in Italia talvolta anche numero di Nepero.

Il numero di Eulero è collegato con la funzione esponenziale, che associa ad un numero reale il numero dato dalla potenza , e con la funzione logaritmo naturale (la funzione inversa dell'esponenziale).

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Il numero può essere definito in uno dei seguenti modi:

;

dove è il fattoriale del numero naturale . Per ottenere, per lo sviluppo in serie della funzione esponenziale, la scrittura compatta (si pone per definizione ).

Una dimostrazione dell'equivalenza di queste definizioni è data di seguito. Le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione della funzione esponenziale.

Un modo alternativo (non standard) di definire coinvolge le equazioni differenziali: il numero di Eulero si può definire come il valore in della funzione soluzione unica del problema di Cauchy dato dall'equazione differenziale con condizioni iniziali .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Numero irrazionale e trascendente[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: dimostrazione della irrazionalità di e e dimostrazione della trascendenza di e.

Il numero è irrazionale, più precisamente un numero trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione. Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici, come era accaduto in precedenza per la costante di Liouville. Una dimostrazione della irrazionalità di e è stata data da Charles Hermite nel 1873. Si presume che esso sia un numero normale.

Formula di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

La costante compare nella formula di Eulero, una delle più importanti identità della matematica:

dove indica l'unità immaginaria. Il caso particolare con è noto come identità di Eulero:

questa uguaglianza è stata chiamata da Richard Feynman "gioiello di Eulero".

Frazione continua[modifica | modifica wikitesto]

Lo sviluppo di come frazione continua infinita è espresso dalla seguente interessante configurazione:

Troncando la frazione continua si ottengo le approssimazioni razionali di , di cui le prime (non intere) sono .

Proprietà analitiche[modifica | modifica wikitesto]

Il numero è il punto centrale della commutazione dell'elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie per le quali . Oltre al caso banale , l'unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rette e . Tale curva e la retta si intersecano nel punto . Sempre in merito a funzioni esponenziali, la radice -esima di , ovvero , ha massimo per e l'esponenziale -esimo di , ovvero , ha minimo per .

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Nel corso degli anni il numero è stato approssimato con una precisione di milioni di cifre decimali.

Il primo riferimento ad in letteratura risale al 1618 ed è contenuto nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Sembra che la tavola sia stata scritta da William Oughtred. La prima espressione di come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli:

Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.

La sua prima citazione, rappresentata con la lettera compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera per la costante nel 1727 e il primo uso di compare nella Mechanica di Eulero (1736). Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera , poi l'uso di si è fatto più comune. Oggi è usato come simbolo definitivo.

Si sostiene che fosse usata:

In realtà in queste costruzioni si trovano due lunghezze tipiche che hanno come rapporto il suo valore. I Greci usavano per questa costante l'appellativo Αρμονικός σταθερά o costante armonica, la denotavano con la lettera ε e usavano per essa il valore 2,72.

Non sono noti i motivi che condussero a scegliere la lettera , si può supporre che fu scelto perché iniziale della parola esponenziale.[1] Un altro motivo sta nel fatto che , , , e venivano frequentemente usate per altri oggetti matematici ed era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto iniziale del proprio nome, poiché il numero non era una sua scoperta, era già noto ai matematici dell'epoca.

Dimostrazione dell'equivalenza delle due formulazioni[modifica | modifica wikitesto]

La seguente dimostrazione prova l'equivalenza dello sviluppo in serie infinita presentato in precedenza e l'espressione del limite studiata da Bernoulli.

Definiamo

Dal teorema binomiale,

tale che

Qui deve essere usato il limite superiore o limsup, poiché non è ancora noto che converge effettivamente. Ora, per l'altra direzione, si nota che dall'espressione sopra di , se , abbiamo

Fissato si fa tendere all'infinito. Otteniamo

(di nuovo, dobbiamo usare il limite inferiore o liminf poiché non è ancora garantito che converge).

Ora, considerando la disuguaglianza precedente, si avvicina all'infinito, e colloca quest'ultima assieme all'altra disuguaglianza; da cui:

Questo completa la dimostrazione.

Rappresentazione stocastica[modifica | modifica wikitesto]

Oltre alle rappresentazioni analitiche esatte per calcolare , esistono metodi stocastici per stimarlo. Uno di questi parte da una sequenza infinita di variabili casuali indipendenti distribuite uniformemente nell'intervallo .

Definito come il numero di somme parziali di variabili tali che esse siano strettamente minori di si ha:

[1]
dove

allora il valore atteso è proprio la costante .

Approssimazione con il metodo stocastico[modifica | modifica wikitesto]

Si può studiare un algoritmo che verifichi quanto detto. Il seguente programma, costruito ad-hoc per verificare se questa rappresentazione di sia corretta (oltre che per definire la bontà del metodo), applica la relazione [1] usando per le somme parziani valori pseudo-casuali generati dalla funzione stocast();

è importante notare come un l'uso di questa funzione sia sufficiente per questo scopo, nonostante essa contraddica l'ipotesi di completa randomicità delle variabili.

  1 /*
  2 Partendo dalla definizione data, si usa il seguente codice per approssimare numericamente la costante e,
  3 inizializzando delle variabili di tipo double per calcolare la media delle somme parziali N
  4 e usando per queste somme i valori pseudo-casuali calcolati nella funzione stocast() compresi tra 0 e 1,
  5 trovando che la loro somma (considerando la loro media) non è mai più piccola di 2 e mai più grande di 3.
  6 Ritroviamo quindi in questo tipo di distribuzione una gaussiana centrata sul valore della costante,
  7 o la possibilità di stimare l'ampiezza della campana analizzando il risultato in funzione del numero N.
  8 */
  9 
 10 #include <stdio.h>
 11 #include <time.h>
 12 #include <math.h>
 13 #include <stdlib.h>
 14 #define EXP 2.718281
 15 
 16 int stocast();
 17 
 18 double errore(double media);
 19 
 20 int main(){
 21 	long long int i, n, somma=0;
 22 	double num, denom, media;
 23 	int *vett;
 24 	char file[] = "Dati_statistici.txt";
 25 	srand(time(NULL));
 26 	
 27 	printf("\t***********************************************");
 28 	printf("\n\t*                                             *");
 29 	printf("\n\t*    Approssimazione stocastica costante e    *");
 30 	printf("\n\t*                                             *");
 31 	printf("\n\t***********************************************");
 32 	printf("\nInserisci il numero di somme parziali da calcolare: ");
 33 	scanf("%lld", &n);
 34 	
 35 	// Trovo i valori pseudo-casuali
 36 	vett = malloc(n * sizeof(int));
 37 	if(vett == NULL){
 38 		printf("\nAllocazione memoria fallita!\n\n");
 39 		system("pause");
 40 		return -1;
 41 	}
 42 
 43 	for(i=0; i<=n; i++){
 44 		vett[i] = stocast();
 45 	}
 46 
 47 	// Faccio la media del numero di valori trovati
 48 	for(i=0; i<=n; i++){
 49 		somma = somma + vett[i];
 50 	}
 51 	num = (double)somma;    // cambio tipo; da int a double
 52 	denom = (double)n;		// per fare la media
 53 	media = num/denom;
 54 
 55 	printf("\nApprossimazione trovata: e = %lf\n", media);
 56 	printf("\nErrore relativo al valore vero: %0.4lf%%\n", errore(media));
 57 
 58 	FILE *pf;
 59 	pf = fopen(file, "a+");
 60 	if(pf == NULL){
 61 		printf("\nErrore nell'apertura del file!\n\n");
 62 		system("pause");
 63 		return -1;
 64 	}
 65 
 66 	fprintf(pf,"N = %lld", n);
 67 	fprintf(pf,"\ne = %lf", media);
 68 	fprintf(pf,"\nErrore = %0.4lf%%\n\n", errore(media));
 69 	fflush(pf);
 70 	fclose(pf);
 71 	printf("\nRisultato scritto sul file 'Dati_statistici.txt'\n\n");
 72 
 73 	free(vett);
 74 	vett = NULL;
 75 	system("pause");
 76 	return 0;
 77 }
 78 
 79 
 80 int stocast(){
 81 	long long int contatore=0;
 82 	double X, S=0;
 83 
 84 	while(S<1.0){
 85 		X = (double)(rand()) / ((double)RAND_MAX + 1.0);
 86 		S = S + X;
 87 		contatore++;
 88 	}
 89 
 90 	return contatore;
 91 }
 92 
 93 
 94 double errore(double media){
 95 	double E, Ea, Er, approx;
 96 	
 97 	E = media - EXP;
 98 	Ea = fabs(E);
 99 	Er = Ea/media;
100 	approx = Er*100;
101 	
102 	return approx;
103 }

Ripetendo il calcolo molte volte con questo programma, per avere un consistente insieme di dati da analizzare (dato che ad ogni esecuzione la stima di sarà sempre diversa per la natura statistica del calcolo), si ottiene il seguente output sul file Dati_statistici.txt dove:

  • è il numero di somme parziali di variabili pseudo-casuali considerate
  • è l'approssimazione della costante
  • è l'errore in percentuale tra il valore vero di ed il valore approssimato calcolato
    N = 100
    e = 2.670000
    Errore = 1.808%
    
    N = 100
    e = 2.620000
    Errore = 3.751%
    
    N = 100
    e = 2.660000
    Errore = 2.191%
    
    N = 100
    e = 2.760000
    Errore = 1.512%
    
    N = 100
    e = 2.800000
    Errore = 2.919%
    
    
    
    N = 1000
    e = 2.717000
    Errore = 0.047%
    
    N = 1000
    e = 2.752000
    Errore = 1.225%
    
    N = 1000
    e = 2.734000
    Errore = 0.575%
    
    N = 1000
    e = 2.708000
    Errore = 0.380%
    
    N = 1000
    e = 2.709000
    Errore = 0.343%
    
    
    
    N = 10000
    e = 2.721100
    Errore = 0.104%
    
    N = 10000
    e = 2.705600
    Errore = 0.469%
    
    N = 10000
    e = 2.705500
    Errore = 0.472%
    
    N = 10000
    e = 2.719100
    Errore = 0.030%
    
    N = 10000
    e = 2.723700
    Errore = 0.199%
    
    
    
    N = 100000
    e = 2.720890
    Errore = 0.096%
    
    N = 100000
    e = 2.718640
    Errore = 0.013%
    
    N = 100000
    e = 2.720960
    Errore = 0.098%
    
    N = 100000
    e = 2.717720
    Errore = 0.021%
    
    N = 100000
    e = 2.719690
    Errore = 0.052%
    
    
    
    N = 1000000
    e = 2.717733
    Errore = 0.020%
    
    N = 1000000
    e = 2.717702
    Errore = 0.021%
    
    N = 1000000
    e = 2.719957
    Errore = 0.062%
    
    N = 1000000
    e = 2.718747
    Errore = 0.017%
    
    N = 1000000
    e = 2.719289
    Errore = 0.037%
    
    
    
    N = 10000000
    e = 2.718545
    Errore = 0.010%
    
    N = 10000000
    e = 2.718413
    Errore = 0.005%
    
    N = 10000000
    e = 2.718024
    Errore = 0.009%
    
    N = 10000000
    e = 2.718250
    Errore = 0.001%
    
    N = 10000000
    e = 2.718919
    Errore = 0.023%
    
    
    
    N = 100000000
    e = 2.718303
    Errore = 0.001%
    
    N = 100000000
    e = 2.718233
    Errore = 0.002%
    
    N = 100000000
    e = 2.718349
    Errore = 0.003%
    
    N = 100000000
    e = 2.718280
    Errore = 0.000%
    
    N = 100000000
    e = 2.718453
    Errore = 0.006%
    

Come si può notare, all'aumentare del valore di (coincidenti alla somma dei valori presenti nella relazione [1], ovvero del numero di somme parziali dei valori casuali ),

si arriva ad ottenere una stima della costante con un'incertezza media in percentuale minore della precisione rappresentativa delle variabili (double) usate nel calcolo.

Tuttavia si dimostra anche che questo tipo di stima è poco efficiente, dato che bisogna raggiungere valori di nell'ordine di grandezza di somme parziali per ottenere solo le prime 4 cifre decimali significative di esatte in media.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, ISBN 88-04-33431-2.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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