e (costante matematica)

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e (Numero di Eulero)
Simbolo e
Valore 2,71828 18284 59045 23536 ...
(sequenza A001113 dell'OEIS)
Origine del nome Eulero
Frazione continua [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]
(sequenza A003417 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti
Costanti correlate Costante di Gelfond, Costante Omega
Euler's formula.svg
La costante e compare nella formula di Eulero, una delle identità matematiche più importanti.

In matematica il numero è una costante il cui valore è approssimativamente . È la base della funzione esponenziale e del logaritmo naturale. Può essere definita in vari modi, il più comune tra i quali è come il limite della successione al tendere di all'infinito. Insieme a π è la costante matematica più importante, per via della sua presenza in molte formule apparentemente non correlate.

È un numero trascendente, e dunque irrazionale, e tramite la formula di Eulero è legato alle funzioni trigonometriche. In ambito internazionale il numero è talvolta chiamato numero di Eulero, mentre in Italia viene anche detto numero di Nepero.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Il numero può essere definito in uno dei seguenti modi:

;

dove è il fattoriale del numero naturale .

Una dimostrazione dell'equivalenza di queste definizioni è data di seguito. Le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione della funzione esponenziale.

Un modo alternativo (non standard) di definire coinvolge le equazioni differenziali: il numero di Eulero si può definire come il valore in della funzione soluzione unica del problema di Cauchy dato dall'equazione differenziale con condizioni iniziali .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Numero irrazionale e trascendente[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: dimostrazione della irrazionalità di e e dimostrazione della trascendenza di e.

Il numero è irrazionale, più precisamente un numero trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione. Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici, come era accaduto in precedenza per la costante di Liouville. Una dimostrazione della irrazionalità di e è stata data da Charles Hermite nel 1873. Si presume che esso sia un numero normale.

Formula di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

La costante compare nella formula di Eulero, una delle più importanti identità della matematica:

dove indica l'unità immaginaria. Il caso particolare con è noto come identità di Eulero:

questa uguaglianza è stata chiamata da Richard Feynman "gioiello di Eulero".

Frazione continua[modifica | modifica wikitesto]

Lo sviluppo di come frazione continua infinita è espresso dalla seguente interessante configurazione:

Troncando la frazione continua si ottengono le approssimazioni razionali di , di cui le prime (non intere) sono .

Proprietà analitiche[modifica | modifica wikitesto]

Il numero è il punto centrale della commutazione dell'elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie per le quali . Oltre al caso banale , l'unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rette e . Tale curva e la retta si intersecano nel punto . Sempre in merito a funzioni esponenziali, la radice -esima di , ovvero , ha massimo per e l'esponenziale -esimo di , ovvero , ha minimo per .

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Nel corso degli anni il numero è stato approssimato con una precisione di milioni di cifre decimali.

Il primo riferimento ad in letteratura risale al 1618 ed è contenuto nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Sembra che la tavola sia stata scritta da William Oughtred. La prima espressione di come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli:

Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.

La sua prima citazione, rappresentata con la lettera compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera per la costante nel 1727 e il primo uso di compare nella Mechanica di Eulero (1736). Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera , poi l'uso di si è fatto più comune. Oggi è usato come simbolo definitivo.

Si sostiene che fosse usata:

In realtà in queste costruzioni si trovano due lunghezze tipiche che hanno come rapporto il suo valore. I Greci usavano per questa costante l'appellativo Αρμονικός σταθερά o costante armonica, la denotavano con la lettera ε e usavano per essa il valore 2,72.

Non sono noti i motivi che condussero a scegliere la lettera , si può supporre che fu scelto perché iniziale della parola esponenziale.[1] Un altro motivo sta nel fatto che , , , e venivano frequentemente usate per altri oggetti matematici ed era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto iniziale del proprio nome, poiché il numero non era una sua scoperta, era già noto ai matematici dell'epoca.

Dimostrazione dell'equivalenza delle due formulazioni[modifica | modifica wikitesto]

La seguente dimostrazione prova l'equivalenza dello sviluppo in serie infinita presentato in precedenza e l'espressione del limite studiata da Bernoulli.

Definiamo

Dal teorema binomiale,

tale che

Qui deve essere usato il limite superiore o limsup, poiché non è ancora noto che converge effettivamente. Ora, per l'altra direzione, si nota che dall'espressione sopra di , se , abbiamo

Fissato si fa tendere all'infinito. Otteniamo

(di nuovo, dobbiamo usare il limite inferiore o liminf poiché non è ancora garantito che converge).

Ora, considerando la disuguaglianza precedente, si avvicina all'infinito, e colloca quest'ultima assieme all'altra disuguaglianza; da cui:

Questo completa la dimostrazione.

Rappresentazione stocastica[modifica | modifica wikitesto]

Oltre alle rappresentazioni analitiche esatte per calcolare , esistono metodi stocastici per stimarlo. Uno di questi parte da una sequenza infinita di variabili casuali indipendenti distribuite uniformemente nell'intervallo .

Definito come il numero di somme parziali di variabili tali che esse siano strettamente minori di si ha:

[1]
dove

allora il valore atteso è proprio la costante .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, ISBN 88-04-33431-2.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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