Trasformazione binomiale

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In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione binomiale di una successione è la successione definita come:

Formalmente si può scrivere , dove è un operatore definito su un opportuno spazio di successioni con matrice infinita :

La trasformazione è un'involuzione, vale a dire:

o equivalentemente:

dove è il delta di Kronecker. La successione originale si ritrova dunque tramite la stessa formula:

I primi termini della successione trasformata sono i seguenti:

dove è l'operatore di differenza finita in avanti. Alcuni studiosi definiscono la trasformazione binomiale con un altro segno:

In questo modo essa non è più involutoria; la sua inversa invece è:

Operatore di Shift[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione binomiale è l'operatore di shift per i numeri di Bell:

dove sono i numeri di Bell.

Funzione generatrice[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione connette funzioni generatrici associate alla serie. Per la funzione generatrice ordinaria, sia:

e:

allora:

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Si può definire un'altra trasformazione ponendo:

che fornisce:

dove e sono le ordinarie funzioni generatrici associate alle serie e rispettivamente. Nel caso in cui la trasformazione binomiale sia definita come:

Si ponga questa somma uguale alla funzione . Considerando una nuova tabella delle differenze all'indietro, se si prendono i primi elementi di ogni riga per formare una nuova successione allora la trasformazione binomiale seconda della successione originale è:

Ripetendo questo procedimento k volte segue che:

il cui inverso è:

Si può generalizzare ciò come:

dove è l'operatore di shift. Il suo inverso è:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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