Teorema integrale di Cauchy

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Il teorema integrale di Cauchy è un teorema di analisi complessa.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema integrale di Cauchy afferma che data una funzione olomorfa , definita su un dominio semplicemente connesso, per ogni curva chiusa e regolare a tratti

vale l'equazione

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sappiamo dalla teoria dell'integrazione complessa che l'integrale di è dato da:

e sfruttando la formula di Gauss - Green si ottiene:

dove è la regione interna a . Infatti poiché è olomorfa, valgono le equazioni di Cauchy-Riemann:

che annullano gli integrandi, da cui la tesi.

In termini di forme differenziali si può anche dire che la forma differenziale:

è una forma differenziale chiusa se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ed esatta se il dominio è semplicemente connesso.

Il teorema continua a valere per domini in cui la curva sia il contorno del dominio semplicemente connesso. Inoltre se il dominio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.

Questa dimostrazione, che fa uso della formula di Gauss-Green, richiede la continuità delle derivate parziali prime. Di seguito vediamo la dimostrazione di Edouard Goursat, che non necessita l'ipotesi della continuità delle derivate prime. Per questo motivo il teorema di Cauchy viene detto anche teorema di Cauchy-Goursat.

Dimostrazione di Goursat[modifica | modifica wikitesto]

Percorso per la dimostrazione di Goursat del teorema di Cauchy

La dimostrazione si divide in due parti: nella prima si dimostra il teorema nell'ipotesi che la curva sia una poligonale, nella seconda si usa il risultato della prima per dimostrare il teorema per una generica curva regolare a tratti.

Parte 1: curva poligonale[modifica | modifica wikitesto]

Dapprima notiamo che una poligonale si può sempre decomporre in triangoli e dato che essendo i percorsi sempre in senso antiorario gli integrali sui lati in comune tra due triangoli (cioè quelli interni alla poligonale) si elidono, allora la tesi della prima parte è equivalente al fatto che per ogni triangolo si ha

Consideriamo allora un generico triangolo e sia

.

Costruiamo quattro sottotriangoli unendo i punti medi di . Per costruzione le lunghezze dei perimetri valgono tutte dove è la lunghezza del perimetro del triangolo iniziale. Inoltre dato che (come detto prima) gli integrali sui lati in comune si elidono:

Quindi

,

e poniamo allora . Procediamo analogamente su costruendo un triangolo tale che e

Iterando costruiamo una successione di triangoli tali che e inoltre

.

Essendo le chiusure dei triangoli insiemi compatti la loro intersezione non è vuota.[1]

Cioè esiste un punto . Ora la derivabilità in implica che

e cioè

.

Ora è chiaro che è possibile scegliere abbastanza grande così che . Infatti è sufficiente scegliere tale che . Allora dato che è facile mostrare che l'integrale di ogni costante o di ogni funzione lineare su una linea chiusa è zero vale

Da cui segue che

ma allora e dall'arbitrarietà di segue , cioè che è la tesi della prima parte.

Parte 2: curva generica[modifica | modifica wikitesto]

Ora si consideri una generica curva . Dato si consideri l'insieme , che essendo compatto fornisce la possibilità di restringere a essendo su di esso uniformemente continua. Cioè

se .

Siano allora

dove è la lunghezza dell'arco congiungente e , e sia il segmento congiungente e .

Allora è una poligonale contenuta in . Infatti

ma allora se vale per l'uniforme continuità .

Denotiamo ora con l'arco di sotteso da . Ora notando che essendo una costante vale

e dal fatto che l'integrale sulla poligonale è nullo per il punto precedente vale la seguente catena di disuguaglianze:

La tesi segue dunque dall'arbitrarietà di .

Corollari[modifica | modifica wikitesto]

Curve con gli stessi estremi[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione olomorfa definita su un dominio semplicemente connesso. Se sono due curve regolari a tratti in che congiungono due punti e , allora:

In altre parole, l'integrale su una curva dipende solo dagli estremi.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia la curva chiusa ottenuta concatenando e , quest'ultima percorsa in senso inverso. Per il teorema di Cauchy:

ovvero

Esistenza di una primitiva[modifica | modifica wikitesto]

Ogni funzione olomorfa

definita su un aperto semplicemente connesso ammette una primitiva . Esiste cioè una funzione olomorfa

tale che per ogni in .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione è definita nel modo seguente. Si fissa un punto di e si pone

per una qualsiasi curva regolare in che collega a . Per il risultato precedente non dipende dall'arco ed è quindi ben definita.

La funzione è effettivamente olomorfa e la sua derivata è proprio . Ciò può essere verificato nel modo seguente:

Prendendo come il concatenamento di una qualsiasi e di una piccola curva che congiunge e , ciò è equivalente a

Generalizzazione del teorema di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Dominio multiplamente connesso per la generalizzazione del teorema integrale di Cauchy

Il teorema integrale di Cauchy può essere generalizzato anche a domini a connessione multipla: data analitica in un dominio (in azzurro) qualsiasi con all'interno (in rosso in figura) zone non appartenenti a tale dominio. Tracciamo una curva orientata interna ad ma che contiene tutte le zone disconnesse (in viola) e intorno a queste tracciamo delle curve unite alla curva da . Tutte le curve sono percorse in modo da lasciare a sinistra il dominio (in viola). Allora:

Poiché le curve vengono percorse nei due sensi si annullano, mentre le curve vengono percorse in senso inverso a . Quindi:

cioè:

In questo modo può essere generalizzato il teorema integrale di Cauchy su domini a connessione multipla.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 1976.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Arfken, G. "Cauchy's Integral Theorem." §6.3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 365-371, 1985.
  • (EN) Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
  • (EN) Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
  • (EN) Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
  • (EN) Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.
  • Bernardini, Ragnisco, Santini " Metodi matematici della fisica, Carocci editore" pp 84-88, 2002.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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