Teorema integrale di Cauchy

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il teorema integrale di Cauchy è un teorema di analisi complessa.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema integrale di Cauchy afferma che data una funzione olomorfa f:A\to\mathbb C , definita su un dominio  A semplicemente connesso, per ogni curva chiusa e regolare a tratti

\gamma:[0,1]\to A\,\!

vale l'equazione

\oint_{\gamma} f(z) \ dz = 0

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Sappiamo dalla teoria dell'integrazione complessa che l'integrale di f(z) è dato da:

\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \oint_{\gamma} [u(x,y)dx - v(x,y)dy] + i \oint_{\gamma} [v(x,y)dx + u(x,y)dy]

e sfruttando la formula di Gauss - Green si ottiene:

\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \iint_{E} \left [- \frac {\partial v(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial u(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy + i \cdot \iint_{E} \left [ \frac {\partial u(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial v(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy = 0;
dove E è la regione interna a \gamma. Infatti poiché f(z) è olomorfa, valgono le equazioni di Cauchy - Riemann:
u_x = v_y \qquad u_y = - v_x

che annullano gli integrandi, da cui la tesi.

In termini di forme differenziali si può anche dire che la forma differenziale:

f(z) \ dz = \left [u(x,y) \ dx - v(x,y) \ dy \right ] + i \cdot \left [v(x,y) \ dx + u(x,y) \ dy \right]

è una forma differenziale chiusa se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ed esatta se il dominio è semplicemente connesso.

Il teorema continua a valere per domini in cui la curva \gamma sia il contorno del dominio semplicemente connesso. Inoltre se il dominio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.

Dimostrazione di Goursat[modifica | modifica sorgente]

Percorso per la dimostrazione di Goursat del teorema di Cauchy

La dimostrazione precedente è la dimostrazione standard del Teorema di Cauchy, tuttavia se si sta attenti si nota che essa è valida solo se si richiede la continuità delle derivate parziali prime.

In realtà questa ipotesi non è necessaria: la seguente dimostrazione data da Edouard Goursat non fa uso della continuità delle derivate prime. Per questo motivo il Teorema di Cauchy viene detto anche Teorema di Cauchy-Goursat.

Suddividiamo la regione all'interno del percorso C in un reticolato come mostrato in figura. Risulta allora

\oint_{C} f(z) \ dz = \sum_{j}\oint_{C_j} f(z) \ dz

Definiamo ora la funzione

\delta _j \left( {z,z_j } \right) = \frac{{f\left( z \right) - f\left( {z_j } \right)}}{{z - z_j }} - \left. {\frac{{df\left( z \right)}}{{dz}}} \right|_{z = z_j }

dove z_j è un punto della sottoregione j-esima.

Dato che f(z) è analitica è sempre possibile, per un \varepsilon arbitrario, ottenere

\left| {\delta _j \left( {z,z_j } \right)} \right| < \varepsilon

e poiché sono nulli i termini \oint {dz = \oint {zdz = 0} }, integrando si ottiene

 \oint_{C_j } {\left( {z - z_j } \right)\delta _j \left( {z,z_j } \right)dz = } \oint_{C_j } {f\left( z \right)dz } -  {f\left( z_j \right)} \oint_{C_j } {dz} - \left. {\frac{{df\left( z \right)}}{{dz}}} \right|_{z = z_j } \oint_{C_j }{z \ dz} + z_j \left. {\frac{{df\left( z \right)}}{{dz}}} \right|_{z = z_j } \oint_{C_j }{dz} = \oint_{C_j } {f\left( z \right)dz }

e quindi si ottiene

\left| {\sum\limits_j {\oint_{C_j } {f\left( z \right)dz} } } \right| < A\varepsilon

dove A è un termine dell'ordine dell'area racchiusa dal percorso. Siccome \varepsilon è arbitrario, si può far tendere a 0 ed ottenere così

\oint_{C} f(z) \ dz = \sum_{j}\oint_{C_j} f(z) \ dz=0

Corollari[modifica | modifica sorgente]

Curve con gli stessi estremi[modifica | modifica sorgente]

Sia f:A\to\mathbb C una funzione olomorfa definita su un dominio  A semplicemente connesso. Se \gamma_1,\gamma_2 sono due curve regolari a tratti in A che congiungono due punti P e Q, allora:

\int_{\gamma_1} f(z) \ dz = \int_{\gamma_2}f(z) \ dz

In altre parole, l'integrale su una curva dipende solo dagli estremi.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Sia \gamma la curva chiusa ottenuta concatenando \gamma_1 e \gamma_2 , quest'ultima percorsa in senso inverso. Per il Teorema di Cauchy:

\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \left(\int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} \right) f(z) \ dz = 0

ovvero

\int_{\gamma_1} f(z)\ dz = \int_{\gamma_2} f(z)\ dz.

Esistenza di una primitiva[modifica | modifica sorgente]

Ogni funzione olomorfa

f:A\to\mathbb C

definita su un aperto semplicemente connesso  A ammette una primitiva  F . Esiste cioè una funzione olomorfa

F:A\to\mathbb C

tale che F'(z)=f(z) per ogni  z in  A .

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La funzione F è definita nel modo seguente. Si fissa un punto z_0 di A e si pone

F(z):=\int_{\delta_z}f(\zeta)d\zeta

per una qualsiasi curva regolare \delta_z in A che collega z_0 a z. Per il risultato precedente F(z) non dipende dall'arco \delta_z ed è quindi ben definita.

La funzione F è effettivamente olomorfa e la sua derivata è proprio f. Ciò può essere verificato nel modo seguente:

\lim_{h\to 0}  \frac {F(z+h)-F(z)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac 1h\left(\int_{\delta_{z+h}}f(\zeta)d\zeta - \int_{\delta_z}f(\zeta)d\zeta\right)

Prendendo come \delta_{z+h} il concatenamento di una \delta_z qualsiasi e di una piccola curva \gamma_h che congiunge z e z+h, ciò è equivalente a

 \lim_{h\to 0} \frac 1h\int_{\gamma_h}f(\zeta)d\zeta = f(z).

Generalizzazione del teorema di Cauchy[modifica | modifica sorgente]

Dominio multiplamente connesso per la generalizzazione del teorema integrale di Cauchy

Il teorema integrale di Cauchy può essere generalizzato anche a domini a connessione multipla: data f(z) analitica in un dominio A (in azzurro) qualsiasi con all'interno (in rosso in figura) zone non appartenenti a tale dominio. Tracciamo una curva orientata \Gamma interna ad A ma che contiene tutte le zone disconnesse A' (in viola) e intorno a queste tracciamo delle curve l_1, l_2, l_3 unite alla curva \Gamma da d_1, d_2, d_3, d_4. Tutte le curve sono percorse in modo da lasciare a sinistra il dominio (in viola). Allora:

\oint_{\Gamma} f(z) \ dz + \sum_{i = 1}^{4} \int_{d_i} f(z) \ dz +
 \sum_{j = 1}^{3} \int_{-l_i} f(z) \ dz - \sum_{i = 0}^{4} \int_{d_i} f(z) \ dz = 0

Poiché le curve d_i vengono percorse nei due sensi si annullano, mentre le curve l_i vengono percorse in senso inverso a \Gamma. Quindi:

\oint_{\Gamma} f(z) \ dz + \sum_{j = 1}^{3} \int_{-l_i} f(z) \ dz = 0

cioè:

\oint_{\Gamma} f(z) \ dz = \sum_{i = 0}^{3} \oint_{l_i} f(z) \ dz

In questo modo può essere generalizzato il teorema integrale di Cauchy su domini a connessione multipla.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Arfken, G. "Cauchy's Integral Theorem." §6.3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 365-371, 1985.
  • (EN) Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
  • (EN) Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
  • (EN) Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
  • (EN) Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica