Teorema integrale di Cauchy

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Il teorema integrale di Cauchy è un teorema di analisi complessa.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema integrale di Cauchy afferma che data una funzione olomorfa , definita su un dominio semplicemente connesso, per ogni curva chiusa e regolare a tratti

vale l'equazione

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sappiamo dalla teoria dell'integrazione complessa che l'integrale di è dato da:

e sfruttando la formula di Gauss - Green si ottiene:

dove è la regione interna a . Infatti poiché è olomorfa, valgono le equazioni di Cauchy-Riemann:

che annullano gli integrandi, da cui la tesi.

In termini di forme differenziali si può anche dire che la forma differenziale:

è una forma differenziale chiusa se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ed esatta se il dominio è semplicemente connesso.

Il teorema continua a valere per domini in cui la curva sia il contorno del dominio semplicemente connesso. Inoltre se il dominio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.

Dimostrazione di Goursat[modifica | modifica wikitesto]

Percorso per la dimostrazione di Goursat del teorema di Cauchy

La dimostrazione precedente, che fa uso della formula di Gauss - Green, richiede la continuità delle derivate parziali prime.

In realtà questa ipotesi non è necessaria: la seguente dimostrazione, data da Edouard Goursat, non fa uso della continuità delle derivate prime. Per questo motivo il teorema di Cauchy viene detto anche teorema di Cauchy-Goursat.

Suddividiamo la regione all'interno del percorso in un reticolato, come mostrato in figura. Risulta allora

Definiamo ora la funzione

dove è un punto della sottoregione -esima.

Dato che è analitica, è sempre possibile, per un arbitrario, ottenere

e poiché sono nulli i termini , integrando si ottiene

e, quindi

dove è un termine dell'ordine dell'area racchiusa dal percorso. Siccome è arbitrario, si può far tendere a 0 ed ottenere, così

Corollari[modifica | modifica wikitesto]

Curve con gli stessi estremi[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione olomorfa definita su un dominio semplicemente connesso. Se sono due curve regolari a tratti in che congiungono due punti e , allora:

In altre parole, l'integrale su una curva dipende solo dagli estremi.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia la curva chiusa ottenuta concatenando e , quest'ultima percorsa in senso inverso. Per il teorema di Cauchy:

ovvero

Esistenza di una primitiva[modifica | modifica wikitesto]

Ogni funzione olomorfa

definita su un aperto semplicemente connesso ammette una primitiva . Esiste cioè una funzione olomorfa

tale che per ogni in .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione è definita nel modo seguente. Si fissa un punto di e si pone

per una qualsiasi curva regolare in che collega a . Per il risultato precedente non dipende dall'arco ed è quindi ben definita.

La funzione è effettivamente olomorfa e la sua derivata è proprio . Ciò può essere verificato nel modo seguente:

Prendendo come il concatenamento di una qualsiasi e di una piccola curva che congiunge e , ciò è equivalente a

Generalizzazione del teorema di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Dominio multiplamente connesso per la generalizzazione del teorema integrale di Cauchy

Il teorema integrale di Cauchy può essere generalizzato anche a domini a connessione multipla: data analitica in un dominio (in azzurro) qualsiasi con all'interno (in rosso in figura) zone non appartenenti a tale dominio. Tracciamo una curva orientata interna ad ma che contiene tutte le zone disconnesse (in viola) e intorno a queste tracciamo delle curve unite alla curva da . Tutte le curve sono percorse in modo da lasciare a sinistra il dominio (in viola). Allora:

Poiché le curve vengono percorse nei due sensi si annullano, mentre le curve vengono percorse in senso inverso a . Quindi:

cioè:

In questo modo può essere generalizzato il teorema integrale di Cauchy su domini a connessione multipla.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Arfken, G. "Cauchy's Integral Theorem." §6.3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 365-371, 1985.
  • (EN) Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
  • (EN) Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
  • (EN) Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
  • (EN) Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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