Teorema di Morera

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In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Morera fornisce un importante criterio per determinare se una funzione è olomorfa. Prende il nome da Giacinto Morera.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Se è una funzione continua in un dominio aperto e se:

per ogni curva rettificabile chiusa tutta contenuta in , allora la funzione è olomorfa in .

Se si parametrizza con la funzione si può scrivere:

con la derivata di . Si tratta dell'integrazione di una 1-forma, e il teorema si può generalizzare al caso n-dimensionale.

L'inverso del teorema non vale, come si vede ad esempio nel caso in cui sia semplicemente connesso. Si tratterebbe della formula integrale di Cauchy, che afferma che l'integrale di linea di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

È sufficiente dimostrare che se l'integrale di è nullo su qualsiasi curva allora ammette una primitiva, ovvero che esiste una funzione tale che:

Infatti se tale esiste essa è analitica (dato che è derivabile e quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann) e per il teorema di rappresentazione integrale essa ammette infinite derivate analitiche, pertanto è analitica.

Per dimostrare l'esistenza della primitiva si fissa all'interno della curva un triangolo con . Per ipotesi si può quindi scrivere:

da cui, utilizzando il teorema della media, si ottiene:

dove è un punto del segmento . Passando al limite per (e quindi ) si ottiene:

pertanto la funzione:

è una primitiva di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 373-374, 1985.
  • (EN) Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 26, 1999.
  • (EN) J.B. Conway, Functions of one complex variable , Springer (1973)
  • (EN) R. Remmert, Funktionentheorie , 1 , Springer (1984)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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