1-forma

In algebra lineare, una 1-forma su uno spazio vettoriale è sinonimo di funzionale lineare su tale spazio. In tale contesto, la dicitura "1-forma" è solitamente utilizzata per distinguere i funzionali lineari da funzionali multilineari di grado maggiore (una forma multilineare di grado n è un'espressione polinomiale che è lineare rispetto a tutte le n variabili su cui è definita).

In geometria differenziale, una 1-forma differenziale su una varietà differenziabile è una sezione liscia del fibrato cotangente, lo spazio duale del fibrato tangente. In modo equivalente, una 1-forma su una varietà $M$ è una funzione liscia $\alpha$ definita dallo spazio totale del fibrato tangente di $M$ a $\mathbb {R}$ la cui restrizione ad ogni fibra è un funzionale lineare sullo spazio tangente. In simboli:

$\alpha :TM\rightarrow {\mathbb {R} }\qquad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbb {R} }$

dove $\alpha _{x}$ è lineare.

Spesso le 1-forme sono descritte localmente come combinazioni lineari dei differenziali delle coordinate:

$\alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n}$

dove $f_{i}$ sono funzioni lisce. Da questo punto di vista, una 1-forma obbedisce ad una legge di trasformazione covariante per cambiare sistema di coordinate. Si tratta quindi di un campo tensoriale covariante di ordine 1.

Differenziale di una funzione

Sia $U\subseteq \mathbb {R}$ un insieme aperto, ad esempio un intervallo $(a,b)$, e si consideri una funzione differenziabile $f:U\to \mathbb {R}$, con derivata $f'$. Il differenziale $df$ di $f$, nel punto $x_{0}\in U$, è definito come una trasformazione lineare della variabile $dx$ data da:

$df(x_{0},dx):dx\mapsto f'(x_{0})dx$

Il simbolo $dx$ è quindi un argomento (variabile indipendente) della funzione $df$. La mappa $x\mapsto df(x,dx)$ associa quindi ogni punto al funzionale lineare $df(x,dx)$. Si tratta del più semplice esempio di 1-forma differenziale.

Bibliografia

• (EN) Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, W.H. Freeman & Co, 1973, p. 57, ISBN 0-7167-0344-0.
• (EN) Igor Rostislavovich Shafarevich, Basic algebraic geometry, Springer-Verlag, 1977, ISBN 3540082646.
• (EN) Mario Baldassarri, Algebraic varieties, Springer-Verlag, 1956, LCCN 56058757.
• (EN) Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer-Verlag, 1977, LCCN 77001177.

Voci correlate

• Differenziale (matematica)
• Fibrato cotangente
• Fibrato tangente
• Forma differenziale
• Forma di volume
• Funzionale lineare
• Funzione liscia
• Spazio duale
• Varietà differenziabile

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, 1-forma, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) 1-forma, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.