Forma di volume

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In geometria differenziale, una forma di volume è una particolare -forma differenziale utile a definire una misura su una varietà differenziabile, e quindi un metodo per definire una nozione di volume all'interno di questa.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una forma di volume su una varietà differenziabile di dimensione è una -forma differenziale che non si annulla in nessun punto

In una carta locale, la forma si scrive come

dove è un numero reale dipendente dal punto . Per ipotesi, per ogni [1].

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Orientabilità[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà può avere una forma volume se e solo se è orientabile: questo fatto è spesso usato come definizione di orientabilità. Quindi la bottiglia di Klein ed il piano proiettivo reale non ammettono una forma volume, mentre lo spazio euclideo, la sfera di dimensione arbitraria, il toro ammettono forme volume.

Misura[modifica | modifica wikitesto]

Una forma volume definisce una misura sugli insiemi boreliani di , tramite l'integrale

Un insieme in è boreliano se è tale letto in ogni carta.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Una forma volume su una varietà è spesso dedotta da altre strutture.

Varietà riemanniana[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà riemanniana orientata ha una forma di volume. Su ogni spazio tangente , si tratta dell'unico tensore antisimmetrico di tipo che vale

su ogni base ortonormale di . In una carta, si scrive come

dove è il tensore metrico, che essendo definito positivo ha determinante strettamente positivo in ogni punto.

Varietà pseudoriemanniana[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà pseudo-riemanniana orientata ha una forma di volume, definita in modo analogo, inserendo un valore assoluto:

dove perché è non degenere in ogni punto.

Varietà simplettica[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà simplettica (, ) ha una forma volume. La varietà ha dimensione ed è dotata di una 2-forma differenziale chiusa e non degenere. Si definisce forma volume simplettica, o la forma di Liouville indotta da la

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Il valore puntuale dipende dalla carta scelta, ma il fatto che questo sia nullo o meno è indipendente dalla carta, e quindi l'ipotesi è ben posta.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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