Formula integrale di Cauchy

In matematica, la formula integrale di Cauchy è uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Il teorema mette in relazione il valore di una funzione olomorfa in un punto con un integrale di linea lungo una curva semplice chiusa.

Dalla formula di Cauchy dipendono numerose proprietà delle funzioni olomorfe.

Enunciato

Sia $f(z)$ una funzione olomorfa definita su un insieme $A$ aperto del piano complesso $\mathbb {C}$. Sia $\gamma$ una curva semplice chiusa contenuta in $A$. Sia $S$ la regione racchiusa da $\gamma$ percorsa in senso antiorario e sia $z$ un punto qualsiasi interno ad $S$ dove la funzione è definita, che non sia sulla curva $\gamma$, allora vale la relazione:

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi .$

La formula di Cauchy esprime quindi il valore di una funzione in ogni punto del dominio $S$ mediante i valori che essa assume sul contorno di tale dominio, tramite un integrale di linea.

Dimostrazione

Consideriamo un cerchio $C_{\varepsilon }$ centrato in $z$ di raggio $\varepsilon$ che sia interamente contenuto in $S$. Per il teorema integrale di Cauchy sono uguali i due integrali

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left(\xi \right)}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi }={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{\varepsilon }}{{\frac {f\left(\xi \right)}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi }$

Il secondo integrale può essere calcolato con la sostituzione $\xi -z=\varepsilon e^{i\theta }$, ottenendo

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{\varepsilon }}{{\frac {f\left(\xi \right)}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi }={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f\left({z+\varepsilon e^{i\theta }}\right)\mathrm {d} \theta }$

Ma per il teorema integrale di Cauchy l'integrale sul cerchio è indipendente dal raggio, pertanto possiamo calcolarlo per qualunque $\varepsilon$, in particolare possiamo far tendere $\varepsilon$ a $0$, e siccome $f(z)$ è continua si ottiene

$\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f\left({z+\varepsilon e^{i\theta }}\right)\mathrm {d} \theta }={\frac {f(z)}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\mathrm {d} \theta }=f(z)$

e quindi in definitiva

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left(\xi \right)}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi }=f\left(z\right)$

Generalizzazione

Sia $f(z)$ una funzione olomorfa definita su un insieme $A$ aperto del piano complesso $\mathbb {C}$. Sia $\gamma$ una curva chiusa contenuta in $A$. Sia $S$ la regione racchiusa da $\gamma$ percorsa in senso antiorario e sia $z$ un punto qualsiasi interno ad $S$ dove la funzione è definita, che non sia sulla curva $\gamma$, allora vale la relazione:

$f(z){\text{Ind}}_{\gamma }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi .$

Dimostrazione

Consideriamo la funzione

$F(\xi )={\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}},$

la quale è olomorfa in $A\backslash \{z\}$, ed inoltre, $\lim _{\xi \rightarrow z}(\xi -z)F(\xi )=0$. Quindi, per il teorema integrale di Cauchy, si ha

$\oint _{\gamma }F(\xi )d\xi =0,$

in altre parole, si ottiene che

$f(z)\oint _{\gamma }{\frac {1}{\xi -z}}d\xi =\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi .$

Infine, dalla definizione di indice rispetto ad una curva, si ottiene la tesi.

Applicazioni

Derivate

Dalla formula di Cauchy segue che ogni funzione olomorfa è derivabile infinite volte. Le derivate della funzione sono calcolabili tramite una formula analoga, valida nelle stesse ipotesi descritte sopra:

${\frac {\mathrm {d} ^{n}f\left(z\right)}{\mathrm {d} z^{n}}}={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \xi }$

Dimostrazione

Consideriamo un incremento ${\textstyle \Delta z}$ in modo che sia ${\textstyle (z+\Delta z)\in S}$. Utilizzando la rappresentazione integrale scriviamo:

${\begin{aligned}f(z+\Delta z)-f(z)&=\\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z-\Delta z}}\mathrm {d} \xi -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi \\&={\frac {\Delta z}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )\mathrm {d} \xi }{(\xi -z)(\xi -z-\Delta z)}}\end{aligned}}$

Quindi:

${\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )\mathrm {d} \xi }{(\xi -z)(\xi -z-\Delta z)}}$

passando al limite per ${\textstyle \Delta z\rightarrow 0}$si ottiene:

$f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{2}}}\mathrm {d} \xi .$

Per ottenere questo risultato si poteva pensare di derivare direttamente sotto il segno di integrale, ma la giustificazione di questo approccio è contenuta nell'analisi precedente. Ora però per calcolare le successive derivate possiamo derivare direttamente sotto il segno di integrale. Abbiamo già dimostrato che la formula di derivazione è vera per $n=1$, pertanto procediamo per induzione: dimostriamo che se è vera per $n$ allora è vera anche per $n+1$:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{n+1}f(z)}{\mathrm {d} z^{n+1}}}&=\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(z)}{\mathrm {d} z^{n}}}\right]\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}\mathrm {d} \xi \right]\\&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(\xi ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[{\frac {1}{(\xi -z)^{n+1}}}\right]\mathrm {d} \xi \\&={\frac {n!(n+1)}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{(n+1)+1}}}\mathrm {d} \xi \\&={\frac {(n+1)!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{(n+1)+1}}}\mathrm {d} \xi \\\end{aligned}}$

Teorema della Media

Il valore di una funzione analitica $f(z)$ in un punto coincide con la media dei valori assunti dalla funzione sui punti di un cerchio di raggio arbitrario $r$ centrato in $z$, ovvero

$f\left(z\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f\left({z+re^{i\theta }}\right)\mathrm {d} \theta }$

Ovviamente il raggio deve essere scelto in modo che il cerchio sia interamente contenuto nel dominio di analicità della $f(z)$ e non contenga punti singolari.

Dimostrazione

Basta utilizzare il teorema di rappresentazione integrale sul cerchio di raggio $r$ centrato in $z$ ed usare la sostituzione $\xi -z=re^{i\theta }$ ottenendo

${\begin{aligned}f\left(z\right)&=\\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{r}}{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi }\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }{{\frac {f\left({z+re^{i\theta }}\right)}{re^{i\theta }}}ire^{i\theta }\mathrm {d} \theta }\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f\left({z+re^{i\theta }}\right)\mathrm {d} \theta }\end{aligned}}$

Stime

Sia $f(z)$ una funzione limitata $\left|{f\left(z\right)}\right|\leq M$, $\gamma$ una curva chiusa contenuta nella regione di analicità di $f(z)$, $L$ la lunghezza della curva e $\delta$ la distanza minima tra un punto $z$ e $\gamma$. Valgono allora le seguenti disuguaglianze:

${\begin{aligned}\left|{f\left(z\right)}\right|&\leq {\frac {ML}{2\pi \delta }}\\\left|{\frac {d^{n}f\left(z\right)}{dz^{n}}}\right|&\leq {\frac {n!ML}{2\pi \delta ^{n+1}}}\end{aligned}}$

Dimostrazione

La dimostrazione è semplice, basta osservare le seguenti disuguaglianze nelle quali si è usata la Disuguaglianza di Darboux considerando che $\left|{f\left(z\right)}\right|\leq M$ e che $\left|{\xi -z}\right|\geq \delta$

${\begin{aligned}|f(z)|&=\\&=\left|{{\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }{{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi }}\right|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }{\left|{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\right|\mathrm {d} \xi }\\&\leq {\frac {M}{2\pi \delta }}\oint _{\gamma }\mathrm {d} \xi \\&={\frac {ML}{2\pi \delta }}\\\\\left|{\frac {\mathrm {d} ^{n}f\left(z\right)}{\mathrm {d} z^{n}}}\right|&=\\&=\left|{{\frac {n!}{2\pi }}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \xi }}\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi }}\oint _{\gamma }{\left|{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{n+1}}}\right|\mathrm {d} \xi }\\&\leq {\frac {n!M}{2\pi \delta ^{n+1}}}\oint _{\gamma }\mathrm {d} \xi \\&={\frac {n!ML}{2\pi \delta ^{n+1}}}\\\end{aligned}}$

Inverso del teorema di rappresentazione integrale

Se una funzione ${\textstyle f(z)}$può essere scritta nella forma

$f\left(z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({z'}\right)}{z'-z}}\mathrm {d} z'}$

e $f(z)$ è una funzione continua, allora ${\textstyle f(z)}$è una funzione analitica all'interno del dominio $S$ delimitato dalla curva $\gamma$.

Dimostrazione

Calcoliamo

${\begin{aligned}\left|{{\frac {f\left({z+\Delta z}\right)-f(z)}{\Delta z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }}\right|&=\\&={\frac {1}{2\pi }}\left|{\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z-\Delta z}\right)\Delta z}}\mathrm {d} \xi }-\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)\Delta z}}\mathrm {d} \xi -\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }}}\right|\\&={\frac {1}{2\pi }}\left|{\Delta z\oint _{\gamma }{{\frac {f(\xi )}{\left({\xi -z-\Delta z}\right)\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }}\right|\\\end{aligned}}$

per ipotesi $f(z)$è continua, quindi anche limitata (altrimenti non potremmo calcolare l'integrale), quindi

$\lim \limits _{\Delta z\to 0}\left|{\Delta z\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z-\Delta z}\right)\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }}\right|=0$

pertanto esiste la derivata di ${\textstyle f(z)}$

${\frac {\mathrm {d} f\left(z\right)}{\mathrm {d} z}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }$

ma se esiste la derivata allora valgono le condizioni di Cauchy-Riemann, quindi la ${\textstyle f(z)}$è analitica.

Bibliografia

• (EN) A.B. Aleksandrov, Essays on non locally convex Hardy classes V.P. Havin [V.P. Khavin] (ed.) N.K. Nikol'skii (ed.) , Complex analysis and spectral theory , Springer (1981) pp. 1–89
• (EN) M. Christ, J.L. Journé, Estimates for multilinear singular integral operators with polynomial growth (1986)

Voci correlate

• Analisi complessa
• Integrazione complessa
• Teorema del massimo modulo
• Teorema di Morera
• Teorema integrale di Cauchy

Collegamenti esterni

• (EN) E.D. Solomentsev, Cauchy integral, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cauchy Integral Formula, in MathWorld, Wolfram Research.
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews, su math.fullerton.edu. URL consultato il 13 giugno 2013 (archiviato dall'url originale il 18 gennaio 2011).