Formula integrale di Cauchy

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In matematica, la formula integrale di Cauchy è uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Il teorema mette in relazione il valore di una funzione olomorfa in un punto con il suo integrale di linea lungo una curva semplice chiusa.

Dalla formula di Cauchy dipendono numerose proprietà delle funzioni olomorfe.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Formula di Cauchy.gif

Sia una funzione olomorfa definita su un insieme aperto del piano complesso . Sia una curva semplice chiusa contenuta in . Sia la regione racchiusa da percorsa in senso antiorario e sia un punto qualsiasi interno ad dove la funzione è definita, che non sia sulla curva , allora vale la relazione:

La formula di Cauchy esprime quindi il valore di una funzione in ogni punto del dominio mediante i valori che essa assume sul contorno di tale dominio, tramite un integrale di linea.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un cerchio centrato in di raggio che sia interamente contenuto in . Per il teorema integrale di Cauchy sono uguali i due integrali

Il secondo integrale può essere calcolato con la sostituzione , ottenendo

Ma per il teorema integrale di Cauchy l'integrale sul cerchio è indipendente dal raggio, pertanto si può calcolare per qualunque , in particolare si può far tendere a , e siccome è continua si ottiene

e quindi in definitiva

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione olomorfa definita su un insieme aperto del piano complesso . Sia una curva chiusa contenuta in . Sia la regione racchiusa da percorsa in senso antiorario e sia un punto qualsiasi interno a dove la funzione è definita, che non sia sulla curva , allora vale la relazione:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo la funzione

la quale è olomorfa in , inoltre vale . Quindi, per il teorema integrale di Cauchy, si ha

In altre parole si ottiene che

Infine, dalla definizione di indice rispetto a una curva, si ottiene la tesi.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Derivate[modifica | modifica wikitesto]

Dalla formula di Cauchy segue che ogni funzione olomorfa è derivabile infinite volte. Le derivate della funzione sono calcolabili tramite una formula analoga, valida nelle stesse ipotesi descritte sopra:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un incremento in modo che . Utilizzando la rappresentazione integrale si ha:

Quindi:

passando al limite per si ottiene:

Per ottenere questo risultato si poteva pensare di derivare direttamente sotto il segno di integrale, ma la giustificazione di questo approccio è contenuta nell'analisi precedente. Ora però per calcolare le successive derivate si può derivare direttamente sotto il segno di integrale. Abbiamo già dimostrato che la formula di derivazione è vera per , pertanto procediamo per induzione: dimostriamo che se è vera per , allora è vera anche per :

Teorema della media[modifica | modifica wikitesto]

Il valore di una funzione analitica in un punto coincide con la media dei valori assunti dalla funzione sui punti di un cerchio di raggio arbitrario centrato in , ossia

Il raggio deve essere scelto in modo che il cerchio sia interamente contenuto nel dominio di analiticità della e non contenga punti singolari.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Basta utilizzare il teorema di rappresentazione integrale sul cerchio di raggio centrato in e usare la sostituzione ottenendo

Stime[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione limitata , una curva chiusa contenuta nella regione di analiticità di , la lunghezza della curva e la distanza minima tra un punto e . Valgono allora le seguenti disuguaglianze:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per la dimostrazione basta osservare le seguenti disuguaglianze nelle quali si è usata la disuguaglianza di Darboux considerando che e che

Inverso del teorema di rappresentazione integrale[modifica | modifica wikitesto]

Se una funzione può essere scritta nella forma

ed è una funzione continua, allora è una funzione analitica all'interno del dominio delimitato dalla curva .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si calcoli

Per ipotesi è continua, quindi anche limitata (quindi esiste l'integrale), quindi

quindi esiste la derivata di :

Ma se la derivata esiste, allora valgono le condizioni di Cauchy-Riemann, perciò è analitica.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) A.B. Aleksandrov, Essays on non locally convex Hardy classes V.P. Havin [V.P. Khavin] (ed.) N.K. Nikol'skii (ed.) , Complex analysis and spectral theory , Springer (1981) pp. 1–89
  • (EN) M. Christ, J.L. Journé, Estimates for multilinear singular integral operators with polynomial growth (1986)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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