Distanza di Hausdorff

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In geometria, la distanza di Hausdorff è una particolare definizione di distanza introdotta da Felix Hausdorff per misurare la distanza tra due sottoinsiemi di uno spazio metrico.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Componenti per il calcolo della Distanza di Hausdorff fra la linea verde X e quella blu Y.

Dato uno spazio metrico e due sottoinsiemi definiamo qualche quantità preliminare: si dice distanza di un punto dall'insieme la quantità

.

Si definisce eccedenza di A su B la quantità

.

Si definisce dunque distanza di Hausdorff tra e la quantità

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La distanza di Hausdorff è una funzione . Essa soddisfa le seguenti proprietà:

  • se allora

Tali proprietà la rendono una pseudometrica sull'insieme delle parti di . Essa soddisfa anche l'ultima proprietà di una metrica (cioè implica ) se e sono chiusi.

Campi applicativi[modifica | modifica wikitesto]

La distanza di Hausdorff consente di definire un concetto di continuità per multifunzioni, cioè per funzioni . Se si munisce della distanza di Hausdorff ed è uno spazio quantomeno topologico, è naturale dire continua in se

per ogni esiste un intorno di tale che per ogni in quell'intorno è .

Al di fuori della matematica, la distanza di Hausdorff trova utilizzo in svariati campi di ricerca tra cui la computer vision e la bioinformatica. Sovente si applicano varie metriche onde trovare una stima affidabile dell'errore.

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