Filtro (matematica)

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In teoria degli insiemi il concetto di filtro venne introdotto nel 1937 da Henri Cartan come metodo per introdurre una nozione di convergenza generalizzata per gli spazi topologici.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme. Un sottoinsieme non vuoto dell'insieme delle parti si dice filtro sull'insieme se gode delle seguenti proprietà:

  1. è chiuso verso l'alto rispetto all'inclusione, cioè:
  2. è chiuso rispetto all'intersezione, cioè:

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

  • Sia un insieme e un elemento di La famiglia di insiemi è un filtro.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di filtro venne introdotto nel 1937 da Henri Cartan come metodo per introdurre una nozione di convergenza generalizzata per gli spazi topologici. Un'altra possibile tecnica per realizzare lo stesso scopo è l'uso delle reti, introdotte precedentemente da Moore e Smith. Il concetto di filtro è stato utilizzato da Kenneth Arrow nella dimostrazione del suo teorema sull'impossibilità matematica di attuare la democrazia rappresentativa perfetta[senza fonte][1], da Abraham Robinson per la sua Analisi non standard, e da Amartya Sen per estendere il teorema di Arrow all'impossibilità dello stato di diritto perfetto. Sia Arrow che Sen, per i loro risultati, hanno ricevuto il Premio Nobel per l'economia.

Filtro proprio[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce filtro proprio un filtro su un insieme tale per cui esiste almeno un elemento di che non appartiene ad , in simboli:

Un semplice teorema ci dice che

Un filtro è proprio se e solo se a esso non appartiene l'insieme vuoto

Se infatti , poiché per definizione l'insieme vuoto è contenuto in ogni sottoinsieme di allora per la proprietà 1 ogni sottoinsieme di appartiene a . Viceversa, se esiste un elemento di che non appartiene a , visto che , sempre per la proprietà 1 l'insieme vuoto non può appartenere a , altrimenti avremmo

Filtro generato da una famiglia di sottoinsiemi[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme e sia una famiglia di sottoinsiemi di , allora si dice filtro generato da su  :

con

Esso è un filtro poiché segue dal fatto che l'intersezione tra due filtri sullo stesso insieme è un filtro sull'insieme , inoltre è il più piccolo filtro contenente .

Si dimostra inoltre che

Filtro principale su A[modifica | modifica wikitesto]

Un filtro su si definisce principale se con e

Un filtro proprio è principale su se e solo se ha la proprietà che l'intersezione di tutti i suoi elementi non è l'insieme vuoto, ossia:

Ad esempio, per un insieme non vuoto l'insieme dei sottoinsiemi di che contengono l'elemento è un filtro principale.

Filtro cofinito[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme infinito il filtro che contiene tutti i sottoinsiemi di tali che l'insieme differenza sia finito è detto filtro cofinito o di Fréchet. In simboli:

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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