Teorema della permanenza del segno

Il teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, ed afferma che se un limite è strettamente positivo allora l'oggetto che vi converge è sempre positivo "da un certo punto in poi" o in un "certo intorno". Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Successioni

Enunciato

Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che:

Una successione $\{a_{n}\}$ che tende a un limite strettamente positivo $a>0$ (che può essere anche $+\infty$) ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un $N$ tale che $a_{n}>0$ per ogni $n>N$.

Analogamente, una successione che tende a un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi.

Dimostrazione

Se $a$ è finito, basta prendere $\varepsilon ={\frac {a}{2}}$ nella definizione di limite: esiste quindi un $N$ tale che $a_{n}$ è nell'intervallo $\left(a-{\frac {a}{2}},a+{\frac {a}{2}}\right)$ per ogni $n>N$; poiché $a-{\frac {a}{2}}>0$, allora $a_{n}>0$ per ogni $n>N$.

Se $a=+\infty$, per la definizione di divergenza, dato un $M>0$ qualsiasi, esiste $N$ tale che $a_{n}>M$ per ogni $n>N$.

Esempi

• La successione

$a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}-2,5$

converge ad $e-2,5$, dove $e=2,71828\ldots$ è il numero di Nepero. Il limite $e-2,5=0,21828\ldots$ è strettamente positivo, quindi esiste un $N$ tale che $a_{n}>0$ per ogni $n>N$.

• Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio $a_{n}=(-1)^{n}/n$

$-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots$

Funzioni

Enunciato per una funzione non necessariamente continua in x₀.

Poiché f(x₀)>0, esiste un intorno U di x₀ (in verde) tale che f(x)>0 in U

Sia $f:X\to \mathbb {R}$ una funzione reale a variabile reale definita su un sottoinsieme $X$ dei numeri reali, che ha limite

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l>0$

strettamente positivo in un punto $x_{0}$ di accumulazione per $X$.

Allora esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x$ in $U\cap X$ diverso da $x_{0}$.

Dimostrazione

Poiché $l>0$ si può porre $\varepsilon =l$. Per l'ipotesi dell'esistenza del limite, e quindi per definizione di limite, esiste certamente in corrispondenza di $\varepsilon =l$ un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che $|f(x)-l|<l=\varepsilon$ per ogni $x\neq x_{0}$ del dominio in $U$. Quindi, per tali $x$ si ha $l-l<f(x)<l+l$ , cioè $0<f(x)<2l$, pertanto la funzione è positiva in $U\cap X$, escluso al più $x_{0}$.

Nota

Se $l<0$, esisterà un intorno $U$ di $x_{0}$, in cui, in ogni suo punto escluso al più $x_{0}$, $f(x)<0$ . Nella dimostrazione si dovrà prendere $\varepsilon =-l$ , risultando così $l+l<f(x)<0$ in $U\cap X$ escluso al più $x_{0}$.

Enunciato per una funzione continua in x₀ .

Sia $f:X\to \mathbb {R}$ una funzione reale a variabile reale definita e continua su un sottoinsieme $X$ dei numeri reali, tale che:

$f(x_{0})>0$

dove $x_{0}$ è un punto di accumulazione per $X$.

Allora esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x$ in $U\cap X$.

Dimostrazione

L'ipotesi di continuità di $f$ implica che:

$\lim _{x\to x_{_{0}}}f(x)=f(x_{0})$

Per ipotesi, $f(x_{0})>0$, dunque per il teorema precedente segue l'asserto.

Nota

Se $f(x_{0})<0$ il limite è negativo, quindi si applichi la nota al teorema precedente per concludere che esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale per cui per ogni $x\in U\cap X$ si abbia $f(x)<0$.

Osservazione 1

In questo teorema da $U\cap X$ non va escluso $x_{0},$ essendo $f$ continua in $x_{0}.$

Osservazione 2

Se $X$ è un intervallo, si può omettere di specificare che $x_{0}$ debba essere di accumulazione, perché tutti i punti di un intervallo sono di accumulazione per l'intervallo stesso, inclusi gli estremi che non gli appartengono.

Nota 1

Se $l<0$, esisterà un intorno $U$ di $x_{0}$ in ogni punto del quale $f(x)<0$ . Nella dimostrazione si potrà prendere $\varepsilon =-l$ , risultando così $l+l<f(x)<0$ in $U\cap X$ (da cui non si esclude $x_{0},$ per la continuità di $f$ anche in $x_{0}.$)

Per mezzo del teorema della permanenza del segno si dimostra il così détto suo "inverso".

Inverso del teorema della permanenza del segno.

Sia $f$ una funzione reale a variabile reale definita nell'intervallo aperto $X$ e $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$.

a) Se esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_{0},$ è $f(x)\geq 0,$ allora $l\geq 0.$

b) Se esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_{0},$ è $f(x)\leq 0,$ allora $l\leq 0.$

Dimostrazione

a) Negando la tesi, si ha $l<0$. Per il teorema della permanenza del segno esiste certamente un intorno $U^{*}$ di $x_{0}$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_{0}$, risulta $f(x)<0$. Ma allora in ogni punto $x\neq x_{0}$ di $U^{*}\cap U\cap X$ risulta sia $f(x)\geq 0$ (per ipotesi) sia $f(x)<0$, ma ciò è assurdo: $f$ non può assumere valori distinti in uno stesso punto $x.$ Dunque è $l\geq 0.$

b) Come in a) mutatis mutandis.

Osservazione 3

Gli inversi dei teoremi si ottengono, quando è possibile, scambiando ipotesi e tesi. Nell'inverso del teorema della permanenza del segno si fa abuso di linguaggio perché non c'è perfetto scambio tra ipotesi e tesi a causa della presenza del segno uguale.

Nota 2

Ovviamente nell'enunciato del teorema non si esclude $x_{0}$ se $f$ è continua in $x_{0}$ . In tale caso, come è noto, è $l=f(x_{0})$.

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.