Teorema di Ascoli-Arzelà

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In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende C([a,b]), lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo [a,b], uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel).[1]

Il teorema è di fondamentale importanza in analisi funzionale.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Una successione di funzioni continue \{f_n\}_{n\in N} definite su un intervallo [a,b] è detta uniformemente limitata se esiste un numero M tale che:

|f_n(x)| \le M

per ogni funzione f_n della successione e per ogni x \in [a,b]. Una tale successione è uniformemente equicontinua se per ogni \varepsilon > 0 esiste \delta > 0 tale che:

|f_n(t)-f_n(\tau)|<\varepsilon \qquad |t-\tau|<\delta

per ogni funzione f_n della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo modulo di continuità.

Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione f_n di funzioni continue a valori reali uniformemente limitate definite su [a,b] \in \R chiuso e limitato. Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione f_{n_k} convergente uniformemente.

Generalizzazione[modifica | modifica sorgente]

Una versione più generale del teorema considera gli spazi metrici. Come definizione preliminare, un insieme è relativamente compatto se la sua chiusura è compatta. Siano X,Y spazi metrici, X compatto ed E un sottoinsieme di C(X,Y). Se E è equicontinuo e l'insieme E(t)=\{f(t) : f \in E\} è relativamente compatto per ogni t in X, allora E è relativamente compatto.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si consideri un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo [a,b] ed una successione f_n. Allora essa è limitata sul primo razionale q_1, ma poiché [-M,M] è un compatto (dove M è la costante di uniforme limitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su q_1, che indichiamo con f_{1,n}. La sottosuccessione f_{1,n} è limitata sul secondo razionale q_2 e ammette dunque una sotto-sottosuccesseione convergente su q_2, indicata con f_{2,n}. Questa a sua volta sarà limitata su q_3, e così via. Procedento in questo modo si costruisce una successione di sottosuccessioni f_{m,n} tali che f_{m,n} converge per ogni q_i, con i minore o uguale a m. A questo punto è possibile costruire una sottosuccessione estraendo la diagonale delle f_{m,n}, cioè prendendo la successione f_{n,n} che converge su ogni razionale contenuto in [a,b].

Si vuole dimostrare che la successione f_{n,n} è di Cauchy su [a,b], poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque \varepsilon e si ricavi dall'equicontinuità il \delta corrispondente. Ricoprendo quindi [a,b] con N intervallini I_n, tutti di ampiezza minore di \delta, ogni t dell'intervallo [a,b] appartiene a un I_n. Quindi si ha:

|f_{n,n}(t)-f_{m,m}(\tau)|<|f_{n,n}(t)-f_{n,n}(q_i)|+|f_{n,n}(q_i)-f_{m,m}(q_i)|+|f_{m,m}(q_i)-f_{m,m}(\tau)| \

Il termine centrale a secondo membro è minore di \varepsilon per m,n sufficientemente grandi, poiché f_{n,n} converge su tutti i razionali. Il primo e il terzo termine a secondo membro sono invece minori di \varepsilon, per m,n sufficientemente grandi, in virtù dell'equicontinuità delle f_{n}. Se ora si considera il massimo valore su t si ottiene che la norma infinita della differenza tra f_{n,n} e f_{m,m} è minore di \varepsilon per m,n sufficientemente grandi. Dunque f_{n,n} è di Cauchy e pertanto converge ad una funzione continua.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Una successione limitata che non ammette sottosuccessioni convergenti nella norma del massimo, per esempio, è la successione f_n definita da:
    f_n=\left\{

\begin{matrix}

2n(n+1)x-2n&\frac{1}{n+1}\leq x < \frac{2n+1}{2n(n+1)}\\
-2n(n+1)x+2(n+1)&\frac{2n+1}{2n(n+1)}\leq x < \frac{1}{n}\\
0&altrove
\end{matrix}
\right.
    Si tratta in sostanza di funzioni a capanna con massimo uguale a uno definite tra \frac{1}{n+1} e \frac{1}{n}. Tali funzioni sono tutte limitate (il massimo vale appunto uno), ma distano le une dalle altre sempre due in quanto dove una funzione è diversa da zero tutte le altre sono nulle.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471.
  • Cesare Arzelà, Sulle funzioni di linee in Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., vol. 5, n. 5, 1895, pp. 55–74. .
  • Cesare Arzelà, Un'osservazione intorno alle serie di funzioni in Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna, 1882–1883, pp. 142–159. .
  • G. Ascoli, Le curve limiti di una varietà data di curve in Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., vol. 18, n. 3, 1883–1884, pp. 521–586. .
  • Maurice Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel in Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 22, 1906, pp. 1–74. DOI:10.1007/BF03018603. .

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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