Teorema di Ascoli-Arzelà

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende , lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo , uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel).[1]

Il teorema è di fondamentale importanza in analisi funzionale.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Una successione di funzioni continue definite su un intervallo è detta uniformemente limitata se esiste un numero tale che:

per ogni funzione della successione e per ogni . Una tale successione è uniformemente equicontinua se per ogni esiste tale che:

per ogni funzione della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo modulo di continuità.

Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione di funzioni continue a valori reali uniformemente limitate definite su . Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione convergente uniformemente.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Una versione più generale del teorema considera gli spazi metrici. Come definizione preliminare, un insieme è relativamente compatto se la sua chiusura è compatta. Siano spazi metrici, compatto ed un sottoinsieme di . Se è equicontinuo e l'insieme è relativamente compatto per ogni in , allora è relativamente compatto.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo ed una successione . Allora essa è limitata sul primo razionale , ma poiché è un compatto (dove è la costante di uniforme limitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su , che indichiamo con . La sottosuccessione è limitata sul secondo razionale e ammette dunque una sotto-sottosuccesseione convergente su , indicata con . Questa a sua volta sarà limitata su , e così via. Procedento in questo modo si costruisce una successione di sottosuccessioni tali che converge per ogni , con minore o uguale a . A questo punto è possibile costruire una sottosuccessione estraendo la diagonale delle , cioè prendendo la successione che converge su ogni razionale contenuto in .

Si vuole dimostrare che la successione è di Cauchy su , poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque e si ricavi dall'equicontinuità il corrispondente. Ricoprendo quindi con intervallini , tutti di ampiezza minore di , ogni dell'intervallo appartiene a un . Quindi si ha:

Il primo e il terzo termine a secondo membro sono minori di , basti scegliere in ( tale che ), in virtù dell'equi-uniforme-continuità delle . Il termine centrale a secondo membro è invece minore di per sufficientemente grandi, poiché converge su tutti i razionali. converge puntualmente ad una , la successione è equiuniformemente continua in , quindi converge uniformemente ad in , quindi in particolare è continua in .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Una successione limitata che non ammette sottosuccessioni convergenti nella norma del massimo, per esempio, è la successione definita da:
    Si tratta in sostanza di funzioni a capanna con massimo uguale a uno definite tra e . Tali funzioni sono tutte limitate (il massimo vale appunto uno), ma distano le une dalle altre sempre due in quanto dove una funzione è diversa da zero tutte le altre sono nulle.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • Cesare Arzelà, Sulle funzioni di linee, in Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., vol. 5, nº 5, 1895, pp. 55–74.
  • Cesare Arzelà, Un'osservazione intorno alle serie di funzioni, in Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna, 1882–1883, pp. 142–159.
  • Giulio Ascoli, Le curve limiti di una varietà data di curve, in Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., vol. 18, nº 3, 1883–1884, pp. 521–586.
  • Maurice Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, in Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 22, 1906, pp. 1–74, DOI:10.1007/BF03018603.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica