Teorema di Ascoli-Arzelà

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In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende C([a,b]), lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo [a,b], uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel).[1]

Il teorema è di fondamentale importanza in analisi funzionale.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Una successione di funzioni continue \{f_n\}_{n\in N} definite su un intervallo [a,b] è detta uniformemente limitata se esiste un numero M tale che:

|f_n(x)| \le M

per ogni funzione f_n della successione e per ogni x \in [a,b]. Una tale successione è uniformemente equicontinua se per ogni \varepsilon > 0 esiste \delta > 0 tale che:

|f_n(t)-f_n(\tau)|<\varepsilon \qquad |t-\tau|<\delta

per ogni funzione f_n della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo modulo di continuità.

Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione f_n di funzioni continue a valori reali uniformemente limitate definite su [a,b] \in \R chiuso e limitato. Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione f_{n_k} convergente uniformemente.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Una versione più generale del teorema considera gli spazi metrici. Come definizione preliminare, un insieme è relativamente compatto se la sua chiusura è compatta. Siano X,Y spazi metrici, X compatto ed E un sottoinsieme di C(X,Y). Se E è equicontinuo e l'insieme E(t)=\{f(t) : f \in E\} è relativamente compatto per ogni t in X, allora E è relativamente compatto.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo [a,b] ed una successione f_n. Allora essa è limitata sul primo razionale q_1, ma poiché [-M,M] è un compatto (dove M è la costante di uniforme limitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su q_1, che indichiamo con f_{1,n}. La sottosuccessione f_{1,n} è limitata sul secondo razionale q_2 e ammette dunque una sotto-sottosuccesseione convergente su q_2, indicata con f_{2,n}. Questa a sua volta sarà limitata su q_3, e così via. Procedento in questo modo si costruisce una successione di sottosuccessioni f_{m,n} tali che f_{m,n} converge per ogni q_i, con i minore o uguale a m. A questo punto è possibile costruire una sottosuccessione estraendo la diagonale delle f_{m,n}, cioè prendendo la successione f_{n,n} che converge su ogni razionale contenuto in [a,b].

Si vuole dimostrare che la successione f_{n,n} è di Cauchy su [a,b], poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque \varepsilon e si ricavi dall'equicontinuità il \delta corrispondente. Ricoprendo quindi [a,b] con N intervallini I_n, tutti di ampiezza minore di \delta, ogni t dell'intervallo [a,b] appartiene a un I_n. Quindi si ha:

|f_{n,n}(t)-f_{m,m}(t)|<|f_{n,n}(t)-f_{n,n}(q_i)|+|f_{n,n}(q_i)-f_{m,m}(q_i)|+|f_{m,m}(q_i)-f_{m,m}(t)| \

Il primo e il terzo termine a secondo membro sono minori di \varepsilon, basti scegliere q_i in I_j (I_j tale che t \in I_j), in virtù dell'equi-uniforme-continuità delle f_{n}. Il termine centrale a secondo membro è invece minore di \varepsilon per m,n sufficientemente grandi, poiché f_{n,n} converge su tutti i razionali. f_{n,n} converge puntualmente ad una f(x), la successione f_{n,n} è equiuniformemente continua in [a,b], quindi f_{n,n} converge uniformemente ad f(x) in [a,b], quindi in particolare f(x) è continua in [a,b].

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Una successione limitata che non ammette sottosuccessioni convergenti nella norma del massimo, per esempio, è la successione f_n definita da:
    f_n=\left\{

\begin{matrix}

2n(n+1)x-2n&\frac{1}{n+1}\leq x < \frac{2n+1}{2n(n+1)}\\
-2n(n+1)x+2(n+1)&\frac{2n+1}{2n(n+1)}\leq x < \frac{1}{n}\\
0&altrove
\end{matrix}
\right.
    Si tratta in sostanza di funzioni a capanna con massimo uguale a uno definite tra \frac{1}{n+1} e \frac{1}{n}. Tali funzioni sono tutte limitate (il massimo vale appunto uno), ma distano le une dalle altre sempre due in quanto dove una funzione è diversa da zero tutte le altre sono nulle.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • Cesare Arzelà, Sulle funzioni di linee in Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., vol. 5, nº 5, 1895, pp. 55–74.
  • Cesare Arzelà, Un'osservazione intorno alle serie di funzioni in Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna, 1882–1883, pp. 142–159.
  • Giulio Ascoli, Le curve limiti di una varietà data di curve in Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., vol. 18, nº 3, 1883–1884, pp. 521–586.
  • Maurice Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel in Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 22, 1906, pp. 1–74, DOI:10.1007/BF03018603.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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