Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search

In matematica, la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, o più brevemente la disuguaglianza MA-MG, afferma che la media aritmetica di una lista di numeri reali è maggiore della media geometrica della stessa lista; e inoltre, che le due medie sono uguali se e solo se ogni numero nella lista è lo stesso.

Il caso non banale più semplice, per due numeri reali non negativi e , è la disuguaglianza

con l'uguaglianza se e solo se . Questo caso può essere visto dal fatto che il quadrato di un numero reale è sempre non negativo (maggiore o uguale a zero) e dal caso elementare della formula binomiale:

Quindi , con l'uguaglianza precisamente quando , cioè . La disuguaglianza MA-MG segue poi applicando la radice quadrata ad ambo i membri.

Per un'interpretazione geometrica, si consideri un rettangolo con lati di lunghezza e , perciò ha perimetro e area . In modo simile, un quadrato con il lato di lunghezza ha perimetro e la stessa area del rettangolo. Questo caso della disuguaglianza MA-MG implica per i perimetri che e pertanto che il quadrato ha il minore perimetro tra tutti i rettangoli di uguale area.

Estensioni della disuguaglianza MA-MG sono disponibili per includere medie pesate o generalizzate.

Media aritmetica e geometrica[modifica | modifica wikitesto]

La media aritmetica, o meno precisamente la media, di una lista di numeri è la somma dei numeri divisa per :

La media geometrica è simile, eccetto che è definita solo per una lista di numeri non negativi, e usa la moltiplicazione e la radice n-esima invece della somma e divisione:

Se , questo è uguale all'esponenziale della media aritmetica dei logaritmi naturali dei numeri:

La disuguaglianza[modifica | modifica wikitesto]

Riaffermando la disuguaglianza usando la notazione matematica, si ha che per ogni lista di numeri non negativi ,

e vale l'uguaglianza se e solo se .

Interpretazione geometrica[modifica | modifica wikitesto]

In due dimensioni, è il perimetro di un rettangolo con lati di lunghezza e . In modo simile, è il perimetro di un quadrato della stessa area del rettangolo. Quindi per la disuguaglianza afferma che solo il quadrato è fra i rettangoli aventi la stessa area quello che ha il perimetro minore.

La vera disuguaglianza è un'estensione di quest'idea a dimensioni. Ogni vertice di una scatola -dimensionale è connesso a spigoli. Se le miure di questi spigoli sono , allora è la lunghezza totale degli spigoli incidenti in quel vertice. Ci sono in totale vertici, quindi si moltiplica per ; poiché ogni spigolo, tuttavia, incontra sue vertici, ciascuno dei primi sono contati due volte. Pertanto, si divide il risultato per e si conclude che ci sono spigoli. Ci sono lo stesso numero di spigoli per ogni lunghezza, quindi ci sono spigoli per ogni e la loro lunghezza totale è perciò . D'altra parte,

è la lunghezza totale degli spigoli connessi a un vertice in un cubo -dimensionale di uguale volume, poiché in questo caso . Siccome la disuguaglianza afferma che

moltiplicando entrambi i membri per si ottiene

con l'uguaglianza se e solo se .

Così la disuguaglianza MA-MG afferma che fra le scatole -dimensionali di uguale volume, l'n-cubo ha la minore somma delle lunghezze degli spigoli connessi a ciascun vertice.[1]

Esempio di applicazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la funzione

per ogni numero reale positivo , e . Si supponga di trovare il minimo valore della funzione. Prima la riscriviamo come:

con

Applicando la disuguaglianza MA-MG per , si ha

Inoltre, si sa che i due membri sono esattamente uguali quando tutti i termini della media sono uguali:

Tutti i punti soddisfacenti questa condizione giacciono su una semiretta che parte dall'origine e sono dati da

Applicazioni pratiche[modifica | modifica wikitesto]

Un'importante applicazione pratica nella matematica finanziaria è il calcolo del tasso di rendimento: il ritorno annuo, calcolato attraverso la media geometrica, è minore del ritorno annuo medio, ricavato da una media aritmetica (o uguali se tutti i profitti sono uguali). Questo è importante nell'analisi degli investimenti, poiché il ritorno medio sopravvaluta l'effetto cumulativo.

Dimostrazioni della disuguaglianza MA-MG[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione usando la disuguaglianza di Jensen[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza di Jensen afferma che il valore di una media aritmetica calcolata in una funzione concava è maggiore o uguale della media aritmetica dei valori della funzione. Poiché la funzione logaritmo è concava, si ottiene

Prendendo l'esponenziale di entrambi i membri, si ha la disuguaglianza MA-MG.

Dimostrazioni per induzione[modifica | modifica wikitesto]

Si deve mostrare che

con l'uguaglianza se e solo se tutti i numeri sono uguali. Se , allora sostituendo sia sia con lascerà la media aritmetica inalterata, ma incrementerà la media geometrica sulla destra perché

Così il membro destro sarà il più grande quando tutti gli sono uguali alla media aritmetica

e siccome questo è il maggior valore del membro destro, si ha

Questa è una dimostrazione valida per il caso , ma la procedura di prendere iterativamente medie di coppie di numeri può fallire nel produrre valori uguali nel caso . Un esempio di questo caso è : Prendendo la media di due numeri differenti se ne ottengono due uguali, ma il terzo è ancora diverso. Perciò, non si avrà mai una disuguaglianza sulla media geometrica di tre numeri uguali.

Quindi, un trucco in più o un diverso ragionamento è necessario per per trasformare l'idea precedente in una valida dimostrazione per .

Dimostrazione per induzione #1[modifica | modifica wikitesto]

Con la media aritmetica

di numeri reali non negativi , la disuguaglianza è equivalente a

con l'uguaglianza se e solo se per ogni . Per la seguente dimostrazione si applica il principio d'induzione e solo ben conosciute regole di aritmetica.

Base induttiva: Per l'enunciato è vero con l'uguaglianza.

Ipotesi induttiva: Si supponga che la disuguaglianza valga per ogni scelta di numeri reali non negativi.

Passo induttivo: Si consideri numeri reali non negativi . La loro media aritmetica soddisfa

Se tutti i sono uguali ad , allora si ha l'uguaglianza e si è concluso. Nel caso in cui qualcuno non è uguale a , deve esistere un numero della lista che è più grande della media e un altro che è più piccolo. Senza perdita di generalità, si possono riordinare i in modo da collocare questi due particolari elementi alla fine: e . Allora

Ora si definisce come

e si consideri i numeri che sono tutti non negativi. Poiché

Perciò, è anche la media aritmetica degli numeri e l'ipotesi induttiva implica

Grazie a si sa che

quindi

in particulare . Dunque, se almeno uno dei numeri è zero, allora si aveva già la disuguaglianza stretta in . D'altra parte il membro destro della è positivo e si ottiene la disuguaglianza stretta usando la stima per avere un limite inferiore della parte destra della . Quindi, in entrambi i casi si può sostituire in per ottenere

che completa la dimostrazione.

Dimostrazione per induzione #2[modifica | modifica wikitesto]

Prima di tutto si dimostra che per i numeri reali e vale

Infatti, moltiplicando entrambi i membri di per , si ottiene

dalla quale si ricava immediatamente la disuguaglianza richiesta.

Ora, ora si andrà a dimostrare che per i numeri reali tali che , vale

L'uguaglianza vale se .

Base induttiva: Per l'enunciato è vero per la proprietà precedente.

Ipotesi induttiva: Si supponga che è vero per ogni numero naturale fino a .

Passo induttivo: Si consideri numeri reali positivi che soddisfano . Esisterà almeno un , quindi ci deve essere almeno un . Senza perdità di generalità, si pone e .

Inoltre, la condizione si scrive nella forma . Qui l'ipotesi induttiva implica

Tuttavia, tenendo conto della base induttiva, si ha

che completa la dimostrazione.

Dati i numeri positivi reali , si definiscono come

I numeri soddisfano la condizione . Così si ottiene

da cui si ricava

con l'uguaglianza che vale se e solo se .

Dimostrazione per induzione utilizzando il calcolo infinitesimale[modifica | modifica wikitesto]

La seguente dimostrazione utilizza il principio di induzione e basi di calcolo differenziale.

Base induttiva: Per l'enunciato è vero con l'uguale.

Ipotesi induttiva: Si supponga che la disuguaglianza MA-MG vale per ogni scelta di numeri reali non negativi.

Passo induttivo: Per dimostrare l'enunciato per numeri non negativi , si ha bisogno di verificare che

con l'uguaglianza se e solo se i numeri sono uguali.

Se tutti i numeri sono zero, l'enunciato vale con l'uguale. Se almeno un numero è non zero, si ha la disuguaglianza stretta. Pertanto, si può assumere che tutti i numeri sono positivi.

Si consideri l'ultimo numero come una variabile e si definisca la funzione

Provare il passo induttiva corrisponde a mostrare che per ogni , e che solo se sono uguali. Questo può essere fatto analizzando i punti critici di usando calcolo differenziale basilare.

La derivata prima si è data da

Un punto critico deve soddisfare , che significa

Dopo pochi calcoli si ha

e infine

che è la media geometrica di . Questo è l'unico punto critico di . Poiché per ogni , la funzione è strettamente convessa e ha un massimo globale stretto in . Successivamente si calcola il valore della funzione nel punto di massimo:

dove la disuguaglianza finale vale per l'ipotesi induttiva. L'ipotesi afferma anche che si può avere l'uguaglianza se e solo se sono tutti uguali. In questo caso, la loro media geometrica ha lo stesso valore e quindi, a meno che siano tutti uguali, si ha , che completa la dimostrazione.

Questa tecnica può essere usata nella solita maniera per la disuguaglianza MA-MG generalizzata e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nello spazio euclideo .

Dimostrazione di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

La seguente dimostrazione per casi si basa direttamente su ben note regole di aritmetica ma impiega la tecnica dell'induzione "in avanti e a ritroso", usata molto raramente. La tecnica è essenzialmente di Augustin Louis Cauchy e può essere trovata nel suo Cours d'analyse.[2] In questa variante del principio di induzione, una volta dimostrata vera la proprietà per , il passo induttivo consiste nel dimostrare che

  • è vera per con
  • con

Perciò la tecnica si basa sul dimostrare prima che la proposizione è vera nel caso facile di una potenza di due ("in avanti"), e poi che è vero per ogni suo numero minore ("a ritroso"). L'idea intuitiva è quindi che, siccome le potenze di due diventano "arbitrariamente grandi" e per ogni loro intero minore vale l'enunciato, allora la dimostrazione riesce a "raggiungere" ogni numero naturale.

Il caso in cui sono tutti uguali

Se tutti i termini sono:

allora la loro somma è , perciò la loro media aritmetica è ; e il loro prodotto è , perciò la loro media geometrica è . Pertanto, la media geometrica e aritmetica sono uguali, come desiderato.

Il caso in cui non sono tutti uguali

Rimane da mostrare che se non tutti i termini sono uguali, allora la media aritmetica è maggiore della media geometrica. Chiaramente, questo è possibile solo quando .

Si passa ora a dimostrare il passo base e poi le due parti del passo induttivo.

Il passo base: n = 2

Se , allora si hanno due termini, e , e poiché (per ipotesi) non tutti i termini sono uguali, si ha:

quindi

come desiderato.

Il sottocaso n = 2k

Si consideri il caso dove , dove è un intero positivo. Si procede per induzione matematica.

Nel passo base, , così . La disuguaglianza vale per come dimostrato precedentemente.

Ora si suppone che per un dato la disuguaglianza valga per e si vuole dimostrare che anche la soddisfa. Per farlo, si applica due volte la disuguaglianza per numeri e una volta il caso per ottenere

dove nella prima disuguaglianza, i due membri sono uguali solo se

e

(in cui la media aritmetica e geometrica della prima sono entrambe uguali a , e similmente per la seconda); e nella seconda disuguaglianza, i due membri sono uguali solo se sono uguali le medie geometriche. Poiché non tutti i numeri sono uguali, è impossibile che entrambe siano uguaglianze, così si ricava che:

come desiderato.

Il sottocaso n < 2k

Se non è una potenza intera di 2, allora è certamente minore di una qualche potenza di due, poiché la successione è superiormente illimitata. Dunque, senza perdita di generalità, sia una qualche potenza di due che è maggiore di .

Quindi, dati gli termini, si indica con la loro media aritmetica e si espande la lista in modo da avere numeri:

Si ha dunque:

da cui

cioè

come desiderato.

Dimostrazione di Pólya utilizzando la funzione esponenziale[modifica | modifica wikitesto]

George Pólya fornì una dimostrazione simile a quella seguente. Sia , con derivata prima e derivata seconda . Si osserva che , e per ogni , perciò è strettamente convessa con minimo assoluto in . Ne segue che per ogni numero reale con l'uguaglianza se e solo se .

Si consideri la lista di numeri reali non negativi . Se sono tutti zero, allora la disuguaglianza MA-MG vale con l'uguale. Quindi in seguito si considererà la loro media aritmetica . Dalla disuguaglianza precedente applicata volte, si ottiene che

con l'uguaglianza se e solo se ogni . L'argomento della funzione esponenziale può essere semplificato nella seguente maniera:

Ritornando alla ,

che produce , e quindi l'enunciato[3]

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Disuguaglianza MA-MG pesata[modifica | modifica wikitesto]

Esiste una disuguaglianza simile per la media aritmetica pesata e la media geometrica pesate. In modo specifico, siano numeri reali non negativi e i loro rispettivi pesi (non negativi). Si definisca inoltre . Se , allora vale la disuguaglianza

e diventa una uguaglianza se e solo se tutti i con i sono uguali. Qui si usa la convenzione .

Se tutti i sono uguali a , la disuguaglianza si riduce a alla MA-MG non pesata analizzata precedentemente.

Dimostrazione usando la disuguaglianza di Jensen[modifica | modifica wikitesto]

Usando la disuguaglianza di Jensen per il logaritmo naturale, si può dimostrare la disuguaglianza fra la media aritmetica pesata e la media geometrica pesata affermata prima.

Poiché un con peso non ha nessuna influenza sulla disuguaglianza, si può assumere che tutti i pesi sono positivi. Se tutti i numeri sono uguali, allora vale l'uguaglianza. Pertanto, rimane da provare la disuguaglianza stretta se non sono tutti uguali, che in seguito verrà assunto. Se almeno uno degli è nullo (ma non tutti), allora la media geometrica è zero, mentre la media aritmetica pesata è positiva, perciò vale la disuguaglianza stretta e allora si può assumere anche tutti i sono positivi.

Dal momento che il logaritmo è una funzione strettamente concava, la disuguaglianza di Jensen e le proprietà del logaritmo implicano

Poiché il logaritmo è strettamente monotono,

Altre generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Altre generalizzazioni della disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica sono:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA Problem Books Series, Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-54677-5, OCLC 54079548.
  2. ^ Cauchy, Augustin-Louis (1821). Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique, Paris. La dimostrazione della disuguaglianza tra le due medie può essere trovata dalla pagina 457.
  3. ^ Denise Arnold e Graham Arnold, Four unit mathematics, Hodder Arnold H&S, 1993, p. 242, ISBN 978-0-340-54335-1, OCLC 38328013.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica