Numero beth

In matematica, e più precisamente in teoria degli insiemi, il numero beth indica una particolare successione di numeri cardinali. Il simbolo è bet, $\beth$, la seconda lettera dell'alfabeto ebraico.

La successione è parametrizzata sui numeri ordinali e definita per induzione transfinita come segue:

${\begin{cases}\beth _{0}=\aleph _{0}\\\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}\\\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\gamma }\mid \gamma \in \lambda \}\qquad {\text{con }}\lambda {\text{ limite}}\end{cases}}$

Numeri beth e numeri aleph

Per le regole dell'aritmetica dei cardinali, dato un cardinale $k$ si ha che $2^{k}$ è la cardinalità dell'insieme di funzioni da $k$ in $\{0,1\}$, che non è altro che la cardinalità di ${\mathcal {P}}(k)$, l'insieme delle parti di $k$.

Alla luce di questa osservazione, il secondo "tassello" della definizione della successione può essere riscritto come:

• $\beth _{\alpha +1}=\left|{\mathcal {P}}(\beth _{\alpha })\right|$

A questo punto si nota che i primi elementi della successione sono i cardinali più utilizzati in matematica:

• $\beth _{0}$ è la cardinalità del numerabile
• $\beth _{1}$ è la cardinalità del continuo, cioè di $\mathbb {R}$
• $\beth _{2}$ è la cardinalità di ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$, ovvero il "numero" di insiemi di numeri reali

Sorge spontanea la domanda "Tutti i cardinali fanno parte di questa successione?"

In altre parole: la successione dei numeri $\beth$ coincide con quella dei numeri $\aleph$?

Che $\beth _{0}$ coincida con $\aleph _{0}$, è vero per definizione. Andando in ordine, il primo caso non banale è quindi $\beth _{1}$, la cui equivalenza con $\aleph _{1}$ però non è altro che l'ipotesi del continuo, che è dimostrata essere indecidibile se ci si basa sugli assiomi standard della matematica.

In generale, l'equivalenza $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ è la cosiddetta ipotesi generalizzata del continuo, ed è ovviamente indecidibile, dato che lo è un suo caso particolare.

Voci correlate

• Numero aleph
• Gerarchia di Von Neumann