Numero beth

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In matematica, e più precisamente in teoria degli insiemi, ("beth"), la seconda lettera dell'alfabeto ebraico, viene utilizzata per indicare una particolare successione di numeri cardinali.[1]

La successione è parametrizzata sui numeri ordinali e definita per induzione transfinita come segue:

Numeri beth e numeri aleph[modifica | modifica wikitesto]

Per le regole dell'aritmetica dei cardinali, dato un cardinale si ha che è la cardinalità dell'insieme di funzioni da in , che non è altro che la cardinalità di , l'insieme delle parti di .

Alla luce di questa osservazione, il secondo "tassello" della definizione della successione può essere riscritto come:

A questo punto si nota che i primi elementi della successione sono i cardinali più utilizzati in matematica:

  • è la cardinalità del numerabile
  • è la cardinalità del continuo, cioè di
  • è la cardinalità di , ovvero il "numero" di insiemi di numeri reali

Sorge spontanea la domanda "Tutti i cardinali fanno parte di questa successione?"

In altre parole: la successione dei numeri coincide con quella dei numeri ?

Che coincida con , è vero per definizione. Andando in ordine, il primo caso non banale è quindi , la cui equivalenza con però non è altro che l'ipotesi del continuo, che è dimostrata essere indecidibile se ci si basa sugli assiomi standard della matematica.

In generale, l'equivalenza è la cosiddetta ipotesi generalizzata del continuo, ed è ovviamente indecidibile, dato che lo è un suo caso particolare.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ In italiano il nome della lettera è bet, ma in matematica si usa scrivere beth, come nella letteratura anglofona e germanica, similmente a quanto avviene per i numeri aleph.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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