Estensione trascendente

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In matematica, più in particolare nella teoria dei campi, un'estensione trascendente (o ampliamento trascendente) è un'estensione di campi che non è algebrica, ovvero un'estensione tale che nel campo esiste almeno un elemento α trascendente su ovvero che non è radice di alcun polinomio a coefficienti in

Un esempio tipico di estensione trascendente è , dove è il campo delle funzioni razionali a coefficienti in altri esempi sono le estensioni e .

Indipendenza algebrica e grado di trascendenza[modifica | modifica wikitesto]

Poiché un elemento trascendente su non è soluzione di alcun polinomio a coefficienti in il grado dell'estensione è infinito; di conseguenza, il grado di qualsiasi estensione trascendente è infinito, e questo strumento non può essere usato per studiarle. Al suo posto si introduce la nozione di grado di trascendenza, ottenuto sostituendo al concetto di indipendenza lineare quello di indipendenza algebrica: un insieme si dice algebricamente indipendente su un campo se non esiste alcun polinomio non nullo in più variabili tale che per elementi in Analogamente alla definizione di base in algebra lineare si ha la definizione di base di trascendenza di un ampliamento : è un sottoinsieme di tale che è algebricamente indipendente su e è algebrico su

Questo parallelismo tra l'algebra lineare e le estensioni trascendenti non si limita alle definizioni, ma si estende anche a molte delle proprietà delle basi: ogni ampliamento trascendente possiede una base di trascendenza (anche se per dimostrarlo è necessario assumere il lemma di Zorn) e ogni insieme di elementi algebricamente indipendenti può essere completato ad una base di trascendenza aggiungendovi altri elementi. In particolare, due basi di trascendenza devono avere la stessa cardinalità: questa è detta grado di trascendenza di su ed è analoga alla nozione di dimensione di uno spazio vettoriale.

Dalla definizione segue immediatamente che se ed è algebrico su allora ed hanno lo stesso grado di trascendenza su in particolare, un'estensione algebrica ha grado di trascendenza .

A differenza del grado dell'estensione, che è moltiplicativo (cioè se allora ), il grado di trascendenza è additivo, cioè il grado di trascendenza di su è uguale alla somma dei gradi di trascendenza di su e di su

Estensioni puramente trascendenti[modifica | modifica wikitesto]

Un'estensione generata da elementi algebricamente indipendenti è detta puramente trascendente. Un ampliamento puramente trascendente di è isomorfo ad un campo di funzioni razionali, dove indica un insieme di indeterminate indipendenti; il suo grado di trascendenza è dato dalla cardinalità di , ovvero dal numero di indeterminate. Ad esempio, l'ampliamento è puramente trascendente con grado di trascendenza , e ha grado .

Non tutte le estensioni trascendenti sono puramente trascendenti. Questo è vero nel caso in cui sia un ampliamento intermedio tra e (teorema di Lüroth; in particolare è un'estensione semplice di ), ma non per più alti gradi di trascendenza; nel caso in cui , il risultato è ancora valido se si suppone che sia algebricamente chiuso e è un ampliamento finito e separabile di

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
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