Discussione:Successione di Cauchy

In matematica si definiscono successioni di Cauchy (o successioni fondamentali) le successioni \{x_n \}_{n\in \mathbb N} a valori in uno spazio metrico (X,d) tali che:

...?

Manca la definizione!!!

Successione di Cauchy

Scusi, lei sta dicendo che una successione di Cauchy può non convergere? Mi faccia un esempio, la prego. Fedefede0202 (msg) 12:07, 29 mag 2020 (CEST)

Il concetto di convergenza dipende dallo spazio metrico (restringiamoci a questo caso). Indichiamo con $(X,d)$ un generico spazio metrico. Senza indicazione dello spazio metrico (e quindi dell'insieme $X$ e della funzione metrica $d$) non ha senso parlare di convergenza, non è proprio definita nel senso classico (anche se ci sono generalizzazioni). Un esempio di successione di Cauchy non convergente nello spazio metrico $(I,d)$, con $I=(0,2)$ intervallo reale e $d$ metrica euclidea classica, è $a_{n}={\frac {1}{n}}.$ Questa successione è di Cauchy e non converge nello spazio metrico considerato. Ma si possono facilmente fare altri esempi considerando, ad esempio, i razionali con la metrica euclidea o con quella p-adica.--Mat4free (msg) 12:31, 29 mag 2020 (CEST)

(conflittato) X=Q, a_n=F_{n+1}/F_n, dove F_n è la successione di Fibonacci. Oppure, in modo meno banale, X=C([0,1]) con $\|f\|=\int _{0}^{1}|f(x)|dx$ e f_n la funzione definita qua. Come scritto nell'oggetto della modifica, per parlare della convergenza bisogna specificare lo spazio. Poi certo lo spazio si può completare, ma, a parte il fatto che il completamento non è sempre un'"estensione banale dello spazio" (pensa al caso di L^1 del secondo esempio), questo non toglie che sullo spazio originale la sequenza non converga. Nella voce è comunque scritto che in spazi completi tutti le successioni di Cauchy convergono e che uno spazio si possa completare.--Sandro_bt (scrivimi) 12:37, 29 mag 2020 (CEST)