1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

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Rappresentazione su piano delle prime migliaia di termini del calcolo di 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.

In matematica, 1 − 2 + 3 − 4 + ... è la serie infinita i cui termini sono la successione dei numeri interi a segno alternato. Usando la notazione di sommatoria, la somma dei primi m termini della serie può essere espressa nel seguente modo:

 \sum_{n=0}^m n(-1)^{n+1} = \frac{1-{(2m+1)}{cos({\pi}{m})}}{4}.

Le somme parziali di questa serie infinita (1, −1, 2, −2, ...), non tendono verso un limite, né finito, né infinito. In questo caso si può dire che 1 − 2 + 3 − 4 + ... è una serie indeterminata (o irregolare).

Nella metà del XVIII secolo, Leonhard Euler enunciò quella che lui definiva un'equazione paradossale:

1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.

Una corretta spiegazione di questa equazione arrivò solo molto più tardi. Nel 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel e altri matematici definirono i metodi per estendere il concetto di sommabilità secondo un punto di vista che rendeva possibile attribuire un limite anche a serie fino ad allora intrattabili, incluse nuove interpretazioni che rendevano conto dell'equazione di Eulero. Molti di questi metodi sono riferiti alle somme di 1 − 2 + 3 − 4 + ..., che ne fanno convergere i valori parziali a 14. Nella somma di Cesàro, invece, i termini della successione non sono sommabili; questo è un esempio di successione per cui si rendono necessari metodi di sommabilità leggermente più forti, come ad esempio quelli della somma di Abel.

La serie 1 − 2 + 3 − 4 + … è strettamente simile alla serie 1 − 1 + 1 − 1 + …, nota più comunemente come serie di Grandi. Eulero considerò queste due successioni casi particolari della serie 1n − 2n + 3n − 4n + …, per i valori arbitrari di n, secondo una linea di ricerca che estese il suo studio al problema di Basel indirizzando la ricerca verso le equazioni funzionali che noi conosciamo come funzione eta di Dirichlet e funzione zeta di Riemann.

Divergenza[modifica | modifica sorgente]

I termini della successione (1, −2, 3, −4, ...) non tendono a 0; quindi la non convergenza della relativa serie è una semplice conseguenza del più elementare dei criteri, quello che richiede quale condizione necessaria la convergenza a zero della successione.

È comunque utile, per il prosieguo, appurare il comportamento di questa serie analizzandola da un punto di vista più fondamentale. Per definizione, la convergenza o divergenza di una serie infinita è determinata dalla convergenza o divergenza della sua sequenza di somme parziali; le somme parziali di 1 − 2 + 3 − 4 + ... sono:[1]

  • 1 = 1,
  • 1 − 2 = −1,
  • 1 − 2 + 3 = 2,
  • 1 − 2 + 3 − 4 = −2,
  • 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
  • 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3, ...

In questa sequenza si nota che la serie assume tutti i valori interi diversi da zero (possiamo includere anche lo 0 se si considera la sommatoria vuota), fornendo peraltro una dimostrazione della numerabilità dell'insieme \mathbb{Z} degli interi relativi.[2] Chiaramente, esso non si stabilizza su nessun numero particolare, e quindi 1 − 2 + 3 − 4 + ... è oscillante (mentre diverge in valore assoluto).

Metodi euristici per la sommabilità[modifica | modifica sorgente]

Stabilità e linearità[modifica | modifica sorgente]

Siccome i termini 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... seguono uno schema semplice, la serie 1 − 2 + 3 − 4 + ... può essere manipolata con opportuni spostamenti dei termini della somma al fine di ottenere un valore finito. È possibile dare un senso ad un'espressione come s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... per qualche intero s: ad esempio, le seguenti manipolazioni, la rendono valida per s = 14:[3]


\begin{array}{rclllll}
4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & +(1-2+3-4+\cdots) & +(1-2+3-4+\cdots) &+(1-2+3-4+\cdots) \\
  &=& &(1-2+3-4+\cdots) & +1+(-2+3-4+5+\cdots) & +1+(-2+3-4+5+\cdots) &-1+(3-4+5-6\cdots) \\
  &=&1+[&(1-2-2+3) & +(-2+3+3-4) & +(3-4-4+5) &+(-4+5+5-6)+\cdots] \\
  &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1
\end{array}

Aggiungendo 4 copie di 1 − 2 + 3 − 4 + ... usando solo lo spostamento dei termini dell'addizione, il risultato è 1. È stato aggiunto il calcolo 1 − 1 + 1 − 1 + ..., la serie di Grandi.

Così, s=\frac{1}{4}.

Il risultato di questo calcolo viene rappresentato graficamente sulla destra.

Nonostante 1 − 2 + 3 − 4 + ... non abbia una somma intesa nel senso abituale, l'equazione s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = 14 può essere un esempio naturale per descrivere come un'estensione del concetto di somma possa essere definita. Una definizione generalizzata di somma per una serie che ordinariamente non è convergente, è chiamato un metodo di sommabilità, in cui la somma viene effettuata solo su alcuni sottoinsiemi dell'indice solo alcuni sottoinsiemi delle possibili serie.

Esistono metodi di questo tipo, e alcuni di questi li vedremo in seguito, ciascuno dei quali si caratterizza per le proprietà che condivide con il concetto ordinario di addizione.

Quello che la manipolazione sopra descritta sottende è che dato un metodo di sommabilità che sia lineare e stabile, che consenta la sommabilità nella serie 1 − 2 + 3 − 4 + ..., allora il risultato della somma deve essere 14. Inoltre, siccome 
\begin{array}{rcllll}
2s  & = &     &(1-2+3-4+\cdots) & +       &   (1-2+3-4+\cdots) \\
    & = & 1 + &(-2+3-4+\cdots)  & + 1 - 2 & + (3-4+5\cdots) \\
    & = & 0 + &(-2+3)+(3-4)+ (-4+5)+\cdots \\
\frac{1}{2}& = & &1-1+1-1\cdots \\
\end{array}

allora questo metodo di sommabilità deve rendere sommabile anche la serie di Grandi, dando come risultato s = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = 12.

Agendo similmente attraverso vari raggruppamenti e sfruttando anche la serie di Grandi, si ha che la serie s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... :


\begin{array}{rclllll}
s  & = & (1-2) + 3 +(-4+5)-6+(7-8)+9 \cdots \\
    & = & (-1+1-1+1 \cdots)  +(3-6+9-12+ \cdots) \\ [0.4em]
    & = & - \frac{1}{2}  +3 \cdot (1-2+3-4+ \cdots) \\ [0.4em]
s & = & -\frac{1}{2}  +3  s \\ [0.4em]
s & = & \frac{1}{4} \\
\end{array}

Successione di Cauchy[modifica | modifica sorgente]

Nel 1891, Ernesto Cesàro espresse la speranza che le serie divergenti avessero costituito importanti metodi nei calcoli matematici, puntando verso la teoria nella quale (1 − 1 + 1 − 1 + …) 2 = 1 − 2 + 3 − 4 + … equivale a 14.[4] Per Cesàro questa equazione fu un'applicazione di un teorema che aveva pubblicato l'anno prima, il quale fu ritenuto il primo nella storia delle serie divergenti. I dettagli di questo metodo per la sommabilità sono nell'idea centrale la quale ritiene che 1 − 2 + 3 − 4 + … è il prodotto di Cauchy di 1 − 1 + 1 − 1 + … e 1 − 1 + 1 − 1 + ….

1 − 2 + 3 − 4 + … è equivalente al prodotto di Cauchy, 1 − 1 + 1 − 1 + …

Il prodotto di Cauchy, scoperto dal matematico francese Augustin-Louis Cauchy, è costituito a partire da due serie infinite. Nel caso in cui Σan = Σbn = Σ(−1)n, i termini della serie di Cauchy sono dati da una somma finita:

\begin{array}{rcl}
c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k (-1)^{n-k} \\[1em]
  & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^n  = (-1)^n(n+1).
\end{array}

Il prodotto della serie è quindi il seguente:

\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1) = 1-2+3-4+\cdots.

Così una somma che rispetta la successione di Cauchy, ossia due serie finite combacianti con 1 − 1 + 1 − 1 + … = 12 e 1 − 2 + 3 − 4 + … = 14, si avranno come risultato 12 e 14. Con il risultato della prima serie, si ha un'equivalenza tra la somma di 1 − 1 + 1 − 1 + … e quella di 1 − 2 + 3 − 4 + …, perciò questo metodo è lineare, stabile e rispetta la successione di Cauchy.

La somma di Cesàro è un semplice esempio di serie divergente. La serie 1 − 1 + 1 − 1 + … è sommabile, secondo il teorema di Cesàro, in modo parziale; questo tipo di calcolo è chiamato (C, 1)-sommabile. 1 − 2 + 3 − 4 + … invece non necessita di un supporto del teorema di Cesàro, per questo motivo è definita (C, 2)-sommabile.[5][6] Per essere utilizzato in una serie, la somma di Cesàro deve quindi incontrarne una lineare e stabile.

Metodi specifici[modifica | modifica sorgente]

Cesàro e Hölder[modifica | modifica sorgente]

Dati sulla somma (H, 2) di 14.

Per trovare in una somma di Cesàro la sommabilità (C, 1) di 1 − 2 + 3 − 4 + …, se essa esiste, bisogna applicare il concetto della media aritmetica alle somme parziali delle serie, le quali sono, in questa serie:

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

Le medie aritmetiche sono perciò le seguenti:

1, 0, ²⁄3, 0, ³⁄5, 0, 47, ….

Questa sequenza non converge, in questo caso 1 − 2 + 3 − 4 + … non è sommabile con i criteri del teorema di Cesàro.

Ci sono due generalizzazioni molto conosciute della somma di Cesàro: il semplice concetto che ritiene che la somma (H, n) opera sui numeri naturali n. La (H, 1) somma di Cesàro, per essere applicata, necessita di una serie nella quale bisogna trovare molte medie matematiche. Così, la media regolare converge a 12, e le somme dispari sono uguali a 0.[7][8] In questo caso la media della media converge a 0 e 12, cioè 14. Così, 1 − 2 + 3 − 4 + … è (H, 2) sommabile per 14.

La H è la parte dell'equazione trovata da Otto Hölder, il quale dimostrò nel 1882 cosa s'intende in matematica per legazione tra la somma di Abel e i metodi per la somma (H, n) di 1 − 2 + 3 − 4 + …; questa successione fu la prima alla quale venne applicata questa regola.[9][10] Il fatto che 14 sia la somma (H, 2) di 1 − 2 + 3 − 4 + … garantisce che si può applicare la somma di Abel a questa serie.

Un'altra generalizzazione della somma di Cesàro è la sequenza dei metodi (C, n). Egli ha infatti dimostrato che la somma (C, n) e la somma (H, n) danno lo stesso risultato, nonostante il diverso sfondo storico. Nel 1887, Cesàro cercò una definizione per la regola della somma (C, n), ma riuscì a fornire solo pochi esempi. In particolare, ha sommato 1 − 2 + 3 − 4 + … con 14 con un metodo strettamente legato a (C, n), ma non ha giustificato come lo ha fatto. Egli, nel 1890, definiva i metodi (C, n) in stati ordinati del suo teorema con l'ausilio della successione di Cauchy grazie a una serie (C, n)-sommabile e a una serie (C, m)-sommabile, facendo risultare il tutto (C, m + n + 1)-sommabile.[11]

Somma di Abel[modifica | modifica sorgente]

Somme parziali di 1−2x+3x²+…; 1/(1 + x)²; il risultato sarà sempre 1.

In un documento del 1749, Eulero ammette che una serie diverge ma non ha una somma precisa.

(EN)
« When it is said that the sum of this series 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 ... is 14, that must appear paradoxical. For by adding 100 terms of this series, we get –50, however, the sum of 101 terms gives +51, which is quite different from 14 and becomes still greater when one increases the number of terms. But I have already noticed at a previous time, that it is necessary to give to the word sum a more extended meaning. »
(IT)
« Il risultato tra le somme della serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 ... è 14, e questo fatto appare paradossale. Addizionando 100 termini di questa serie, si avrà un risultato di –50, comunque, sommando il risultato con 101 si ha +51; perciò il risultato totale non dovrebbe essere 14. Ma io avevo già annunciato in precedenza, che è necessario dare alla parola « somma » una definizione più approfondita. »
(Eulero, 1749.[12])

Eulero ha proposto nuove definizioni della parola somma varie volte, pubblicando il libro Euler on infinite series (letteralmente Eulero sulle serie infinite). Nel caso della serie 1 − 2 + 3 − 4 + …, le sue idee sulla somma sono simili a quelle utilizzate per la somma di Abel.

(EN)
« It is no more doubtful that the sum of this series 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + ... is 14; since it arises from the expansion of the formula 1(1+1)², whose value is incontestably 14. The idea becomes clearer by considering the general series 1-2x + 3x² - 4x³ + 5x4 - 6x5 ... that arises while expanding the expression 1(1+x)², which this series is indeed equal to after we set x=1»
(IT)
« Non c'è dubbio che il risultato della somma di 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + ... sia 14; poiché proviene dall'espansione della formula 1(1+1)², il quale valore è di 14. L'idea risulta più chiara dalla considerazione della serie generale 1-2x + 3x² - 4x³ + 5x4 - 6x5 ... che si genera espandendo l'espressione 1(1+x, alla quale la serie è evidentemente uguale ponendo x=1»
(Eulero, 1749.[13])

Per dimostrare questo, Eulero ha utilizzato i valori assoluti |x| < 1, creando un'equazione.

1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.

Sotto un punto di vista attuale, la serie 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … non definisce una funzione precisa di x = 1, in questo modo non può essere espresso sempre un risultato ben definito. Da questa funzione si definisce che |x| < 1; in questo caso 1 simboleggia un limite di calcolo, quindi il risultato questa serie è di circa 1 e, basandosi sulle leggi della somma di Abel, se ne può trarre un'equazione.

\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)^2} = \frac14.

Eulero e Borel[modifica | modifica sorgente]

La somma di Eulero di 1214.

Eulero ha applicato un altro metodo per il calcolo nelle serie: una trasformazione binomiale, la quale ha inventato senza l'aiuto di nessun altro studioso. Per applicare la trasformazione binomiale di Eulero, la serie data deve iniziare sempre con termini positivi, per permettere l'alteramento delle somme, come nel caso di 1, 2, 3, 4, …. Il primo elemento di questa sequenza è rappresentato, nelle tabelle matematiche, come a0.

Procedendo nei calcoli, si hanno differenze avanzate tra 1, 2, 3, 4, …; queste sono 1, 1, 1, 1, …. Il primo elemento in queste sequenza è denominato Δa0. La numerazione binomiale dipende anche dalle differenze di differenze, ma tutte le differenze avanzate tra 1, 1, 1, 1, … sono 0. La trasformazione di Eulero di 1 − 2 + 3 − 4 + … è anche definibile tramite un'equazione.

\frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14.

Nella tecnologia moderna si ritiene che la serie 1 − 2 + 3 − 4 + ... sia sommabile tramite la somma di Eulero con 14. Secondo la somma di Eulero, in questa serie bisogna applicare un ulteriore tipo di criterio di sommabilità, rappresentando 1 − 2 + 3 − 4 + … con un'equazione.

\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1),

Si ha perciò una serie convergente ricavata da essa.

a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(k+1)x^k}{k!} = e^{-x}(1-x).

La somma di Borel applicata nella serie 1 − 2 + 3 − 4 + ... farà perciò risultare la serie in un'altra maniera.[14]

\int_0^\infty e^{-x}a(x)\,dx = \int_0^\infty e^{-2x}(1-x)\,dx = \frac12-\frac14.

Separazione delle misure[modifica | modifica sorgente]

Aleksander Saičev e Wojbor Andrzej Woyczyński arrivarono a 1 − 2 + 3 − 4 + … = 14 applicando due principi fisici: la relazione infinitesima e la separazione delle misure. Per essere precisi, questi principi fanno parte di una lunga famiglia denominata metodi φ-sommabili, le quali somme, in questa serie, risultano 14: se φ(x) è una funzione la quale il primo e il secondo derivato sono continui e integrabili con (0, ∞), come ad esempio φ(0) = 1 e i limiti di φ(x) e xφ(x) a +∞, il risultato sarà 0.[15]

\lim_{\delta\to0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14.

Questo risultato generalizza la somma di Abel, la quale viene recuperata applicando φ(x) = exp(−x). La disposizione generale può essere dimostrata prendendo alcuni termini della serie oltre m convergendo l'espressione in un integrale di Riemann. Per l'ultimo passaggio, a 1 − 1 + 1 − 1 + … viene applicato lo stesso metodo col medesimo valore, ma questo ha bisogno di un supporto più forte del teorema di Taylor.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Somme di Eulero nel suo libro del 1755 Istituzioni.

Il prodotto di Cauchy di 1 − 1 + 1 − 1 + … per sé stesso tre volte è 1 − 3 + 6 − 10 + …, ossia la serie alternata di un numero triangolare; secondo la somma di Abel e la somma di Eulero il risultato è 18.[16] Il prodotto di Cauchy di 1 − 1 + 1 − 1 + … per sé stesso quattro volte è 1 − 4 + 10 − 20 + …, ossia la serie alternata di un numero tetraedrico; secondo la somma di Abel il risultato è 116.

Un'altra generalizzazione di 1 − 2 + 3 − 4 + … in una direzione leggermente diversa è la serie 1 − 2n + 3n − 4n + … per altri valori di n. Per un numero intero positivo n, queste serie operano con la somma di abel nel seguente modo:[5][17]

1-2^{n}+3^{n}-\cdots = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}B_{n+1}.

Qui Bn sono i numeri di Bernoulli. Per n regolari, la serie si riduce:

1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots = 0.

L'ultima somma diventa un oggetto particolare, scoperto nel 1826 da Niels Henrik Abel.

(EN)
« Divergent series are on the whole devil's work, and it is a shame that one dares to found any proof on them. One can get out of them what one wants if one uses them, and it is they which have made so much unhappiness and so many paradoxes. Can one think of anything more appalling than to say that 0 = 1 - 2^n + 3^n - 4^n + \ldots where n is a positive number. Here's something to laugh at, friends. »
(IT)
« Le serie divergenti sono tutte lavoro del diavolo, ed è una vergogna cercare ipotesi e teorie su di esse. Si può trarre qualcosa da esse se si vuole veramente usarle, e questo le rende così infelici e paradossali. Si possono pensare cose molto più scioccanti se però si dice che 0 = 1 - 2^n + 3^n - 4^n + \ldots dove n è un numero positivo. Qui c'è da ridere, amici. »
(Grattan-Giunness, p. 80.[18][19])

L'insegnante di Cesàro, Eugène Charles Catalan, ha trovato anch'esso delle ipotesi sulle serie divergenti. Con l'influenza catalana, inizialmente Cesàro ha fatto riferimento alle formule convenzionali come 1 − 2n + 3n − 4n + … ad uguaglianze assurde, e nel 1883 espresse una tipica vista delle formule decadute ma, in qualche modo, ancora utili. Per finire, nel suo libro Sur la multiplication des séries del 1890, Cesàro diede una nuova definizione di serie.

Le serie sono inoltre studiate per i valori non interi di n; questo ha consentito la scoperta della funzione eta di Dirichlet. Parte delle motivazioni degli studi di Eulero sulla serie 1 − 2 + 3 − 4 + … riguardano l'equazione funzionale della funzione eta, la quale porta direttamente all'equazione funzionale della funzione zeta di Riemann. Eulero è diventato famoso anche per aver trovato i valori di queste funzioni con numeri interi pari (includendo il problema di Basilea), e per aver tentato di trovare i loro valori con numeri interi dispari (includendo la costante di Apéry). La funzione eta, in particolare, è facile da accordare con i metodi di Eulero perché la sua serie di Dirichlet è sommabile dappertutto utilizzando la somma di Abel; la funzione zeta della serie di Dirichlet è molto difficile da sommare dove essa diverge.[20] Per esempio, la parte omologa di 1 − 2 + 3 − 4 + … nella funzione zeta è la serie non alternata 1 + 2 + 3 + 4 + …, alla quale sono stati applicati recentemente metodi fisici che necessitano però più forti proprietà sommative.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Hardy, p. 8.
  2. ^ Beals, p. 23.
  3. ^ Hardy, p. 6.
  4. ^ Ferraro, p. 130.
  5. ^ a b Hardy, p. 3.
  6. ^ Weidlich, pp. 52-55.
  7. ^ Hardy, p. 9.
  8. ^ Weidlich, pp. 17-18.
  9. ^ Ferraro, p. 118.
  10. ^ Trucciarone, p. 10.
  11. ^ Ferraro, pp. 123-128.
  12. ^ Euler, p. 2.
  13. ^ Euler, pp. 3, 25.
  14. ^ Wiedlich, p. 59.
  15. ^ Saičev e Woyczyński, pp. 260–264.
  16. ^ Kline, p. 313.
  17. ^ Knopp, p. 41.
  18. ^ Grattan-Giunness, p. 80.
  19. ^ Markuševič, p. 48.
  20. ^ Euler, pp. 20-25.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Richard Beals, Analysis: an introduction. Cambridge UP, 2004. ISBN 0-521-60047-2
  • (EN) Harry Davis, Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover, 1989. ISBN 0-486-65973-9
  • (EN) Leonhard Euler, Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Memoires de Berlin, 1978.
  • Giovanni Ferraro, La prima definizione moderna della somma delle serie divergenti: un aspetto della matematica del 1900. Archive for History of Exact Sciences, 1999. DOI 7004070050036
  • (EN) Ivor Grattan, The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press, 1970. ISBN 0-262-07034-0
  • (EN) Godfrey Harold Hardy, Divergent Series. Clarendon Press, 1949. LLCN 9175377
  • (EN) Morris Kline, Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine 56, 1983.
  • (EN) Shaughan Lavine, Understanding the Infinite. Harvard UP, 1994. ISBN 0-674-92096-1
  • (RU) Aleksandr Markuševič, Series: fundamental concepts with historical exposition. Hindustan, 1961. LLCN 6817528
  • (RU) Ivan Saičev, Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser, 1996. ISBN 0-8176-3924-1
  • John Tucciarone, Lo sviluppo della teoria della sommabilità divergente nelle serie dal 1880 al 1925. Archive for History of Exact Sciences 10, 1973. DOI 41665708511356
  • (EN) Anders Vretblad, Fourier Analysis and Its Applications. Springer, 2003. ISBN 0-387-00836-5
  • (EN) John Weidlič, Summability methods for divergent series. Stanford, 1950. OCLC 38624384

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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