Prodotto di Cauchy

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In analisi matematica, il prodotto di Cauchy (o secondo Cauchy) di due successioni di termine generale e è la successione avente come termine generale[1].

Questa operazione è una convoluzione delle due successioni; equivale al prodotto di e considerati come elementi dell'anello sul gruppo dei numeri naturali .

Il nome è stato attributo in onore del suo inventore Augustin Louis Cauchy.

Serie[modifica | modifica wikitesto]

Un'importante applicazione di questa definizione si ha nel contesto delle serie: date due serie

a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la serie

.

Se entrambe le serie convergono, e almeno una è assolutamente convergente, allora la serie prodotto converge al prodotto delle somme delle due serie di partenza[2], ossia

Se inoltre entrambe le serie convergono assolutamente, allora converge assolutamente anche la serie prodotto[1].

Osservazione[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto di due serie convergenti, ma non assolutamente convergenti, può non essere convergente. Ad esempio, il prodotto della serie convergente

con sé stessa risulta divergente, in quanto il termine generale del prodotto di Cauchy è

che è la serie armonica.

Sommatorie[modifica | modifica wikitesto]

Se il prodotto avviene tra due sommatorie che non si estendono fino all'infinito, ma fino a n, a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la sommatoria definita come

a patto che e sono definiti per k compreso tra 0 e 2n.

Nel caso di , si ritrova il prodotto di Cauchy per le serie.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Soardi, pag. 140.
  2. ^ Soardi, pag. 142.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • P. M. Soardi, Analisi Matematica (nuova edizione), Novara, Città Studi Edizioni, 2010, p. 113, ISBN 978-88-251-7359-8.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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